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第1章　几何空间中的向量1

1.1　数域与2阶、3阶行列式1

1.1.1　数域1

1.1.2　2阶行列式3

1.1.3　3阶行列式5

1.2　向量及其线性运算8

1.2.1　向量的基本概念8

1.2.2　向量的线性运算9

1.2.3　共线向量与共面向量12

1.3.1　仿射坐标系15

1.3　空间坐标系15

1.3.2　空间直角坐标系17

1.3.3　向量运算的坐标表示19

1.3.4　向量在轴上的投影21

1.4　向量的数量积、向量积与混合积22

1.4.1　向量的数量积22

1.4.2　向量的向量积25

1.4.3　向量的混合积27

1.5　平面的方程30

1.5.1　平面方程30

1.5.2　两平面的位置关系33

1.5.3　两平面的夹角34

1.6　空间直线及其方程36

1.6.1　直线方程36

1.6.2　两直线的位置关系38

1.6.3　直线与平面的位置关系40

1.6.4　两直线的夹角及直线与平面的夹角41

1.6.5　点到直线的距离及两直线之间的距离42

习题145

第2章　行列式49

2.1引言49

2.2.1　排列与逆序50

2.2　n元排列50

2.2.2　排列的奇偶性51

2.3　n阶行列式53

2.3.1　n阶行列式的定义53

2.3.2　行列式的计算（1）55

2.4　n阶行列式的性质57

2.4.1　行列式的性质57

2.4.2　行列式的计算（2）61

2.5　行列式按一行（列）展开65

2.5.1　展开公式65

2.5.2　行列式的计算（3）68

2.6　拉普拉斯（Laplace）定理73

2.7　克拉默（Cramer）法则76

习题282

第3章　矩阵87

3.1　高斯（Gauss）消元法及矩阵表示87

3.1.1　高斯消元法（Gausselimination）87

3.1.2　矩阵表示89

3.1.3　一般情形91

3.2　矩阵及其初等变换94

3.2.1　矩阵的概念94

3.2.2　矩阵应用实例96

3.2.3　矩阵的初等变换98

3.3　矩阵的运算100

3.3.1　矩阵的加法100

3.3.2　矩阵的数乘101

3.3.3　矩阵的乘法101

3.3.4　矩阵的转置106

3.3.5　矩阵的共轭108

3.4　方阵的逆矩阵108

3.4.1　方阵的行列式108

3.4.2　可逆矩阵及其性质110

3.4.3　矩阵可逆的条件111

3.5.1　分块矩阵的概念115

3.5　分块矩阵115

3.5.2　分块矩阵的运算117

3.5.3　分块矩阵的逆矩阵119

3.6　初等变换与初等矩阵122

3.6.1　初等矩阵122

3.6.2　利用初等变换求逆矩阵126

3.6.3　分块矩阵的初等变换128

习题3130

第4章　n维向量空间134

4.1n维向量及其运算134

4.1.1　n维向量134

4.1.2　向量的运算及其性质135

4.1.3　n维向量空间137

4.1.4　线性组合与线性表示138

4.2　线性相关性139

4.2.1　线性相关与线性无关140

4.2.2　线性相关性的刻画141

4.2.3　线性相关性的判断142

4.3　向量组的秩146

4.3.1　向量组的等价146

4.3.2　极大线性无关组147

4.3.3　向量组的秩、维数与基149

4.4.1　行秩、列秩与矩阵的秩151

4.4　矩阵的秩151

4.4.2　秩的性质与求法154

4.4.3　矩阵的秩与行列式的关系155

4.5　齐次线性方程组157

4.5.1　齐次线性方程组有非零解的条件157

4.5.2　齐次线性方程组的解的结构158

4.6　非齐次线性方程组162

4.6.1　非齐次线性方程组有解的条件162

4.6.2　非齐次线性方程组的解的结构163

习题4166

5.1.1　线性空间的概念172

5.1　线性空间及其性质172

第5章　线性空间与线性变换172

5.1.2　简单性质174

5.1.3　线性子空间175

5.2　基、维数和坐标176

5.2.1　线性空间的基、维数和坐标176

5.2.2　基变换与坐标变换179

5.3　线性变换及其性质185

5.3.1　线性变换定义185

5.3.2　线性变换的简单性质187

5.3.3　线性变换的运算188

5.4.1　线性变换在一组基下的矩阵189

5.4　线性变换的矩阵189

5.4.2　向量的象的坐标192

5.5　欧几里得（Euclid）空间195

5.5.1　内积195

5.5.2　标准正交基199

5.5.3　施密特（Schmidt）正交化201

5.5.4　正交矩阵与正交变换204

习题5 .206

第6章　矩阵的对角化问题212

6.1　特征值与特征向量212

6.1.1　特征值与特征向量的基本概念212

6.1.2　特征值与特征向量的求法214

6.1.3　特征值与特征向量的性质220

6.2　相似矩阵222

6.2.1　线性变换在不同基下的矩阵222

6.2.2　相似矩阵的性质224

6.2.3　线性变换的特征值与特征向量226

6.3　矩阵可对角化的条件229

6.3.1　可对角化条件229

6.3.2　特征向量的线性无关性质231

6.3.3　举例234

6.4.1　实对称矩阵的特征值与特征向量238

6.4　实对称矩阵的对角化238

6.4.2　实对称矩阵对角化的方法241

6.5　若尔当标准形简介245

习题6248

第7章　空间曲面与曲线251

7.1　曲面及其方程251

7.1.1　曲面和曲线的一般方程251

7.1.2　球面方程252

7.1.3　柱面254

7.1.4　锥面256

7.1.5　旋转面257

7.2　二次曲面260

7.2.1　椭球面261

7.2.2　单叶双曲面262

7.2.3　双叶双曲面264

7.2.4　椭圆抛物面265

7.2.5　双曲抛物面266

7.3　空间曲线267

7.3.1　空间曲线的方程267

7.3.2　空间曲线在坐标面上的投影269

7.3.3　曲面所围成区域的画法271

习题7272

8.1.1　二次型274

第8章　二次型274

8.1　二次型及其矩阵表示274

8.1.2　非退化线性替换277

8.1.3　矩阵的合同279

8.2　二次型的标准形281

8.2.1　配方法281

8.2.2　初等变换法285

8.2.3　正交替换法289

8.3　惯性定理和规范形293

8.3.1　惯性定理293

8.3.2　实二次型的规范形295

8.3.3　复二次型的规范形297

8.4　实二次型的正定性298

8.4.1　正定二次型298

8.4.2　正定矩阵299

8.4.3　其他类型的实二次型304

8.5　二次曲面的分类306

习题8312

习题答案315

名词索引（汉英对照，按拼音）329

名词索引（英汉对照）337

参考书目345