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目录1

前言1

第1章　矩阵的操作1

1.1　矩阵的定义、元素访问、重置、销毁与显示1

1.1.1　动态矩阵及元素的访问1

1.1.2　关于矩阵的作用域2

1.1.3　空矩阵与矩阵尺寸的重新设置3

1.1.4　矩阵的提前销毁3

1.1.5　矩阵的显示4

如何使用C++数值分析类库5

1.2　矩阵的整体赋值与均匀分布随机矩阵5

1.2.1　使用初始化函数5

1.2.2　用另一矩阵初始化或整体赋值6

1.2.3　初始化（或调整）为单位矩阵7

1.2.4　让矩阵元素服从［a,b］区间上的均匀分布8

1.2.5　产生整数值随机矩阵9

1.3　矩阵的加法、减法、乘法、转置、反号和置零9

1.3.1 矩阵相加9

1.3.2　矩阵的累加11

1.3.3　矩阵相减12

1.3.4　矩阵的累减12

1.3.5　矩阵相乘13

1.3.6　矩阵的累乘14

1.3.7　矩阵乘以标量15

1.3.8　矩阵累乘标量16

1.3.9　矩阵倍加另一个矩阵17

1.3.10　矩阵的转置18

1.3.12　矩阵置零19

1.3.13　去除矩阵的垃圾元素19

1.3.11 矩阵反号19

1.4　矩阵的初等变换20

1.4.1　矩阵交换两行20

1.4.2　矩阵交换两列21

1.4.3　矩阵倍乘一行22

1.4.4　矩阵倍乘一列23

1.4.5　矩阵行倍加23

1.4.6　矩阵列倍加24

1.5　矩阵行、列的添加、插入和删除25

1.5.1　矩阵添加一零行25

1.5.2　矩阵添加一零列25

1.5.3　矩阵插入一零行26

1.5.4　矩阵插入一零列27

1.5.6　矩阵删除一列28

1.5.5　矩阵删除一行28

1.5.7　获取矩阵的行、列数29

1.6　矩阵取子块与矩阵拼接29

1.6.1　取矩阵的任意子块29

1.6.2　取矩阵的四角块30

1.6.3　取矩阵的连续若干行32

1.6.4　取矩阵的连续若干列33

1.6.5　矩阵的填补（1）34

1.6.6　矩阵的填补（2）35

1.6.7　矩阵的横向拼接（1）36

1.6.8　矩阵的横向拼接（2）37

1.6.9　矩阵的竖向拼接（1）38

1.6.10　矩阵的竖向拼接（2）39

1.7　矩阵的存盘与读取40

1.7.1　矩阵存储为磁盘文件40

1.7.2　读取磁盘文件矩阵41

1.8.1 矩阵串行为C/C++数组44

1.8　矩阵与C/C++数组交换数据44

1.8.2　C/C++数组排列成矩阵45

1.9　其他46

1.9.1　方阵的对角线加常量46

1.9.2　矩阵的所有元素加常量47

1.9.3 方阵的迹47

1.9.4　矩阵元素的平均值48

1.9.5 由一个矩阵产生的协方差矩阵49

1.9.6　矩阵的绝对值最大元素及定位50

1.9.7　矩阵的最大元素及定位51

1.9.8　矩阵的绝对值最小元素及定位52

1.9.9　矩阵的最小元素及定位53

第2章　向量的操作55

2.1 向量的定义、元素访问、重置、销毁与显示55

2.1.1 向量的定义、元素访问及作用域55

2.1.3　向量的提前销毁56

2.1.2　空向量与向量长度的重置56

2.1.4　向量的显示57

2.2　向量的整体赋值与随机向量58

2.2.1　使用初始化函数58

2.2.2　用另一向量初始化或整体赋值59

2.2.3　将向量初始化或设置为单位向量59

2.2.4　使向量的所有元素都相同60

2.2.5　使向量的元素为区间的等分点61

2.2.6　一元函数在若干坐标点上的值构成的向量61

2.2.7　［a,b］上均匀分布的随机数构成的向量63

2.2.8　［－｜N｜,｜N｜］范围内的随机整数值构成的向量63

2.2.9　服从正态分布的随机数构成的向量64

2.2.10　服从Γ分布的随机数构成的向量64

2.2.11　服从β分布的随机数构成的向量65

2.3.1 向量相加66

2.2.12　向量数据的频率66

2.3　向量的加、减、乘运算及置零66

2.3.2　向量的累加67

2.3.3 向量相减68

2.3.4　向量的累减69

2.3.5 向量的内积69

2.3.6 向量乘以标量69

2.3.7　向量累乘标量70

2.3.8 向量每个元素加上同一标量71

2.3.9 向量倍加另一向量72

2.3.10 向量置零73

2.3.11 两向量的欧氏距离73

2.3.12　去除向量的垃圾元素73

2.4 向量元素的添加、插入和删除74

2.4.1 向量添加一元素74

2.4.2　向量插入一元素75

2.4.3　向量删除一元素76

2.4.4　获取向量的维数77

2.5 　向量的拼接、截取和填补77

2.5.1 向量的拼接（1）77

2.5.2　向量的拼接（2）78

2.5.3　截取向量的左段79

2.5.4　截取向量的中段80

2.5.5　截取向量的右段80

2.5.6　向量的填补81

2.6　向量的存盘与读取82

2.6.1 向量存储为磁盘文件82

2.6.2　读取磁盘文件向量84

2.7 向量与C/C++数组交换数据86

2.7.1 向量转换为C/C++数组86

2.7.2　C/C++数组转换成向量87

2.8　其他88

2.8.1 向量元素的均值88

2.8.2　向量元素的方差88

2.8.3 向量的绝对值最大元素及定位88

2.8.4 向量的绝对值最小元素及定位89

2.8.5　向量的最大元素及定位90

2.8.6 向量的最小元素及定位91

2.8.7 向量元素按升序排列91

2.8.8　向量元素按降序排列92

2.8.9　一个实数的区间定位93

2.8.10　计算n次二项展开式的系数94

2.8.11 向量的逆转95

2.8.12　向量的移位96

3.1.1　矩阵添加指定行98

3.1　矩阵添加和插入指定的行、列98

第3章 矩阵与向量的关联操作98

3.1.2　矩阵添加指定列99

3.1.3　矩阵插入指定行99

3.1.4　矩阵插入指定列100

3.2　矩阵行、列的设置与提取101

3.2.1　替换矩阵的一行101

3.2.2　替换矩阵的一列102

3.2.3　提取矩阵的一行103

3.2.4　提取矩阵的一列103

3.3　矩阵与向量相乘104

3.3.1　列向量右乘矩阵104

3.3.2　行向量左乘矩阵105

3.3.3　行、列向量同时左右乘矩阵106

3.3.4　两向量相乘产生矩阵107

3.4.1 产生一系列多维正态随机向量108

3.4　其他108

3.4.2　提取方阵的对角线构成向量109

3.4.3　设置方阵的对角线110

3.4.4　方阵的对角线加向量111

3.4.5　方阵的对角线减向量111

3.4.6　矩阵的各行累加构成向量112

3.4.7　矩阵的各列累加构成向量112

3.4.8　矩阵的元素串行成向量113

3.4.9 向量排列成矩阵113

第4章　矩阵的数值分析115

4.1 矩阵的行列式、秩、值空间和核空间、范数及条件数115

4.1.1 方阵的行列式115

4.1.2　矩阵的秩116

4.1.3　矩阵的值空间117

4.1.4　矩阵的核空间118

4.1.5　矩阵的1-范数119

4.1.6　矩阵的∞-范数119

4.1.7　矩阵的2-范数119

4.1.8　矩阵的条件数120

4.2　矩阵分解121

4.2.1 对称正定矩阵的楚列斯基分解121

4.2.2 一般对称矩阵的强迫正定楚列斯基分解123

4.2.3　“高型”矩阵的QR分解125

4.2.4　任意矩阵的奇异值分解127

4.3　矩阵的特征值和特征向量129

4.3.1 对称矩阵的所有特征值及特征向量129

4.3.2　一般方阵的所有特征值（包括复特征值）131

4.3.3　指定方阵的一个实特征值，求相应的一个实特征向量133

4.3.4　指定方阵的一个复特征值，求相应的一个复特征向量134

4.4.1　矩阵求逆或者判断不可逆135

4.4　矩阵的逆与伪逆（广义逆）135

4.4.2　矩阵的伪逆（广义逆）137

4.5　解线性方程组138

4.5.1 系数矩阵为三对角矩阵（追赶法）138

4.5.2 系数矩阵为对称正定矩阵（平方根法）140

4.5.3　系数矩阵为一般的非奇异矩阵（高斯法，高斯-塞德尔迭代法）141

4.5.4 系数矩阵非方阵的最小二乘解或最小范数解143

4.5.5 系数矩阵为任意矩阵的广义解146

第5章　函数的数值分析149

5.1　一元函数的基本问题149

5.1.1　绘制一元函数曲线149

5.1.2　一元函数的一阶导数、二阶导数152

5.1.3　一元函数的零点153

5.1.4　一元函数的定积分（龙贝格法，高斯法）155

5.1.5　一元函数的含参变量积分（带单参数）157

5.1.6 一元函数的含参变量积分（带多参数）160

5.1.7　一元函数的局部极小点162

5.2　一元实系数多项式164

5.2.1　多项式的表示与求值、求导、求积分164

5.2.2　多项式的加法、减法和乘法166

5.2.3　多项式的除法167

5.2.4 多项式的所有根（包括复根）168

5.2.5 已知多项式的所有根（包括复根），求多项式系数169

5.2.6 多项式在闭区间上的最大值点和最小值点170

5.2.7　矩阵多项式171

5.2.8 四种著名的正交多项式173

5.3　样条插值、离散数据的求导和求积分175

5.3.1　样条函数与插值175

5.3.2　离散数据求导178

5.3.3　离散数据求积分180

5.4.1 连续函数的多项式最佳平方逼近182

5.4 函数逼近、离散数据最小二乘拟合、快速傅里叶变换和向量卷积182

5.4.2　连续函数的多项式最佳一致逼近185

5.4.3　离散数据的多项式最小二乘拟合187

5.4.4　快速傅里叶变换190

5.4.5　两个向量的线性卷积192

5.5 常微分方程和方程组、线性定常系统及二阶线性边值问题194

5.5.1　一阶常微分方程194

5.5.2　一阶常微分方程组196

5.5.3　线性定常系统200

5.5.4　二阶线性微分方程的边值问题202

5.6 多元函数的梯度、二阶导数矩阵及雅可比矩阵205

5.6.1 多元函数在指定点的梯度205

5.6.2 多元函数在指定点的二阶导数矩阵206

5.6.3　一组多元函数在指定点的雅可比矩阵208

5.7.1 线性规划209

5.7　最优化计算209

5.7.2　非线性无约束优化（10种算法）212

5.7.3　非线性约束优化（乘子法、约束变尺度法）220

附录1 Visual C++编程环境入门225

1 初识Visual C++225

2　键盘输入、屏幕输出232

2.1 用cin输入232

2.2　用cout输出233

3 内联（inline）函数取代含参数宏236

4　随时随地定义变量237

5　变量的引用238

6　函数的默认参数241

7 函数重载243

8　用new和delete动态分配和回收内存245

附录2　注意事项248

参考文献249