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第1章 高精度运算1

1.1　整数2

1.1.1 进制转换2

1.1.2　四则运算3

1.2　快速乘法7

1.2.1　一元多项式乘法7

1.2.2　Karatsuba乘法9

1.2.3　Toom-Cook乘法11

1.2.4　FFT乘法12

第2章 素数判定18

2.1　Fermat检测19

2.2　Euler检测20

2.3　Lehmer N-1型检测21

2.4　Lucas伪素数检测与N+1型检测23

2.5　概率性检测方法27

2.5.1　Solovay-Strassen检测27

2.5.2　Rabin-Miller检测28

2.5.3　Baillie-PSW检测29

第3章 整数因子分解31

3.1　试除法31

3.2　Euclid算法32

3.3　Pollard ρ-1方法32

3.4　Pollard ρ方法34

3.5　平方型分解36

3.6　连分式方法37

3.7　椭圆曲线方法38

3.8　二次筛法43

3.8.1　单个多项式二次筛法43

3.8.2　多个多项式二次筛法44

3.9　数域筛法44

第4章 基础数论算法45

4.1　快速求幂45

4.1.1　二进方法45

4.1.2　m进方法，窗口方法及加法链47

4.1.3　Montgomery约化48

4.2　幂次检测50

4.2.1　整数开方50

4.2.2　平方检测50

4.2.3　素数幂检测51

4.3　最大公因子52

4.3.1　Euclid算法53

4.3.2　Lehmer加速算法53

4.3.3　二进方法55

4.3.4　扩展Euclid算法56

4.3.5　dmod与bmod57

4.3.6　Jebelean-Weber-Sorenson加速算法58

4.4　Legendre-Jacobi-Kronecker符号60

4.5 中国剩余定理64

4.6　连分数展式65

4.7　素数计数函数π（x）67

4.7.1　部分筛函数68

4.7.2 计算P2(x,α)68

4.7.3 计算φ(x,α)69

4.7.4 计算S70

4.7.5 计算S170

4.7.6 计算S371

4.7.7 计算S271

4.7.8 计算V71

4.7.9 计算V272

4.8　第n个素数pn73

4.9 M？bius函数μ（n）和Euler函数？（n）74

第5章 数学常数75

5.1 圆周率75

5.1.1　级数方法75

5.1.2 迭代方法82

5.2 自然对数底87

5.2.1　级数方法87

5.3　对数常数89

5.3.1　级数方法89

5.3.2 迭代方法91

5.4　Euler常数91

5.4.1　级数方法91

第6章　线性代数94

6.1　快速矩阵乘法94

6.1.1　基于向量内积算法的Winograd算法95

6.1.2　Strassen算法95

6.2　线性方程组与消元法97

6.2.1 基于中国剩余定理的消元法98

6.2.2　Padé逼近与有理函数重建108

6.2.3 Hensel提升算法111

6.2.4　数值算法求精确解113

6.3　Wiedemann算法与黑箱方法119

6.3.1　概率性算法与预处理步骤概述119

6.3.2　线性递推列123

6.3.3　线性方程组的Wiedemann算法126

第7章 一元多项式求值和插值130

7.1　求值算法130

7.2　插值算法133

第8章 一元多项式的最大公因子135

8.1　Euclid算法135

8.2　域上多项式的快速Euclid算法138

8.3　结式性质及其计算143

8.3.1　结式143

8.3.2　Euclid算法计算结式145

8.4　Z［x］中的模GCD算法150

8.4.1　Mignotte界150

8.4.2　大素数模公因子算法153

8.4.3　小素数模公因子算法155

8.5　多项式组的概率算法158

第9章 有限域上多项式因子分解160

9.1　不同次数因子分解161

9.1.1　有限域Fp和Fpd161

9.1.2 不同次因子分解162

9.2　同次因子分解164

9.2.1　特征为奇素数的有限域164

9.2.2　特征为2的有限域166

9.3　一个完整的因子分解算法及其应用167

9.4　无平方因子分解169

9.4.1　特征为零的域上无平方分解170

9.4.2 特征有限的域上无平方分解171

9.5　Berlekamp算法175

9.5.1　Frobenius映射和Berlekamp子代数175

9.5.2　Berlekamp算法的实现176

9.6　各算法复杂度比较178

9.7　不可约性检测和不可约多项式的构造178

第10章 整系数多项式因子分解182

10.1　大素数模方法和因子组合算法183

10.2　Hensel提升理论187

10.2.1　Hensel单步算法187

10.2.2　利用因子树进行多因子Hensel提升192

10.3　应用Hensel提升的Zassenhaus算法193

10.4　格中短向量理论196

10.4.1　问题的引入196

10.4.2　约化基算法198

10.4.3　约化基算法的细节说明201

10.5　应用格中短向量的分解算法203

第11章 多元多项式207

11.1　多元多项式插值方法207

11.1.1　稠密插值208

11.1.2　稀疏插值208

11.2　Euclid算法和一般模算法213

11.2.1　概述213

11.2.2　Fp［x1,x2,…,xn］上最大公因子214

11.2.3　多元多项式的“Mignotte”界215

11.2.4　Z［x1,x2,…,xn］上最大公因子216

11.3　Zippel稀疏插值算法217

11.3.1　一个具体的例子218

11.3.2　算法描述219

11.4　求GCD其他方法222

11.4.1 启发式算法222

11.4.2 EZ-GCD222

11.5　多元多项式因子分解Kronecker算法222

11.6　利用Hensel提升的因子分解算法224

11.6.1　概述224

11.6.2　扩展Zassenhaus算法224

11.6.3　因子还原228

11.6.4　预先确定因子的首项系数229

第12章 一元多项式求根算法233

12.1　多项式零点模估计234

12.2　Jenkins-Traub算法236

12.2.1　算法引入236

12.2.2 收敛速度和细节说明240

12.3　Laguerre算法242

12.4　代数模方程求解243

12.4.1　Fp中的开平方算法243

12.4.2　模p代数方程求解245

12.5　实一元多项式实根隔离算法246

12.5.1　Sturm序列246

12.5.2　由Sturm序列给出的实根隔离算法248

12.6　分圆多项式249

12.6.1　分圆多项式的定义及生成249

12.6.2 分圆多项式的Graeffe检测方法251

12.6.3　Euler反函数方法253

12.6.4　位移分圆多项式检测254

12.7　（一元）复合函数分解254

12.7.1　复合函数分解算法254

12.7.2 形式幂级数的基本操作257

第13章　代数方程组求解260

13.1　结式261

13.2　吴方法262

13.2.1　基本概念262

13.2.2　升列263

13.2.3　基本列265

13.2.4　特征列与解方程265

13.3　Gr？bner基267

13.3.1　概念与介绍267

13.3.2 单项式理想及准备定理269

13.3.3　Gr？bner基及其性质271

13.3.4　Buchberger算法及约化Gr？bner基274

13.3.5　Buchberger算法的两个改进275

13.3.6　Gr？bner基的应用281

13.3.7　Gr？bner基和特征值法解方程组285

第14章 符号极限287

14.1　古典方法287

14.1.1　复合函数287

14.1.2　代数变换与级数近似288

14.1.3　夹逼引理289

14.1.4　L'Hospital法则289

14.2　Gruntz算法291

14.2.1　指对数函数域291

14.2.2　可比类292

14.2.3　极大可比类294

14.2.4　Gruntz算法296

第15章　符号求和298

15.1　多项式级数求和298

15.2　超几何级数301

15.2.1　Gosper算法302

15.2.2　极大阶乘分解302

第16章　符号积分306

16.1　有理函数积分307

16.1.1　部分分式分解307

16.1.2　Hermite方法308

16.1.3　Horowitz-Ostrogradsky方法309

16.1.4 Rothstein-Trager方法310

16.1.5 Lazard-Rioboo-Trager方法312

16.2 Liouville定理312

16.3　超越对数函数积分314

16.3.1　分解引理314

16.3.2　多项式部分315

16.3.3　有理部分与对数部分317

16.4　超越指数函数积分319

16.4.1　分解引理319

16.4.2　多项式部分321

16.4.3　有理部分和对数部分322

第17章　微分方程符号解323

17.1　Risch微分方程323

17.1.1　有理函数域324

17.1.2　一般情形326

17.2　一阶线性微分方程327

17.3　微分Galois理论328

17.4　Lie-Kolchin定理331

17.5　二阶线性微分方程331

17.6　高阶线性微分方程的多项式解和有理解341

17.6.1　多项式解341

17.6.2　有理解343

17.6.3　平衡分解345

17.7　高阶线性微分方程的指数解346

17.7.1　Riccati指数与Riccati界346

17.7.2　多项式部分347

17.7.3　有理部分348

17.8　二阶微分方程的特殊函数解348

17.8.1　变量替换349

17.8.2　有理函数Z的求解350

17.8.3　经典特殊函数351

附录A　maTHμ系统简介353

A.1　系统架构与特点353

A.2　基本功能355

A.3　网络计算平台358

索引360

参考文献366