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第一部分 基本概念学习与理解1

1.1 函数1

一、函数的定义、定义域及基本要素1

1．函数的定义1

2．函数定义域的确定2

3．确定一个函数的基本要素3

二、任何周期函数都有最小正周期吗？3

三、任何两个奇函数之积仍为奇函数吗？4

四、函数y=f（x）与其反函数相同的条件4

五、任何两个函数不一定可以复合成复合函数5

六、初等函数与非初等函数；代数函数与超越函数6

1．初等函数与非初等函数6

2．代数函数与超越函数6

1.2 极限7

一、极限的分析定义7

1．数列的概念7

2．怎样理解数列极限的分析定义7

3．怎样理解函数极限的分析定义8

4．函数极限与数列极限的联系9

5．lim n→∞ xn=a与lim n→∞｜xn｜=a能同时成立吗？10

二、无穷小量与无穷大量12

1．怎样理解无穷小量与无穷大量的概念？12

2．数列xn与无穷小量的关系12

3．数列的敛散性与无穷小量、无穷大量的关系13

4．有界变量不一定是无穷小量，无界变量不一定是无穷大量14

5．无穷个无穷小量的和不一定是无穷小量15

6．无穷个无穷小量的积不一定是无穷小量16

7．两个非无穷小量的和或积一定不是无穷小量吗？17

8．两个无穷小量的商不一定是无穷小量17

9．两个无穷大量的和不一定是无穷大量18

10．两个非无穷大量的积一定不是无穷大量吗？19

11．无穷小量与无穷大量的积不一定是无穷小量19

12．两个无穷大量的商不一定是无穷大量20

13．正确理解无穷小量的阶21

14．任何两个无穷小量都可以比较吗？22

15．无穷小量的等价替换23

16．如何理解无穷小量的主部24

三、有界、无界数列的收敛与发散25

1．有界的数列不一定收敛，但无界的数列一定发散25

2．单调的数列一定收敛吗？收敛的数列一定单调吗？26

四、两个重要极限27

1．两个极限lim x→0 sinx/x与lim x→∞(1+1/x)x=e的重要性27

2．lim n→∞(1+1/n)n的极限值e为什么是无理数2.7 18281…？27

1.3 函数的连续性29

一、正确理解函数的连续与间断29

1．函数f（x）在点x0处连续的定义的几种形式29

2．怎样判断函数在给定点处的连续与间断？30

3．存在在每个无理点处都连续，而在每个有理点处都不连续的函数吗？30

4．如果对任意正数ε，函数f（x）在〔a+ε，b-ε〕上都连续，那么f（x）在（a,b）内、在［a,b］上一定连续吗？31

5．开区间内的连续函数不一定有最大值和最小值32

6．如果f（x）在开区间（a,b）内连续，且f（a）与f（b）异号，则方程f（x）=0在（a,b）内一定有根吗？32

二、函数的一致连续性与连续性33

1．函数在区间内的一致连续性与连续性的区别与联系33

2．开区间内的连续函数不一定一致连续33

3．如果f（x）在（a,b）内连续，f（a+）及f（b￣）都存在且有界，则f（x）在（a,b）内一定一致连续吗？34

三、函数连续性的运算性质35

1．设f（x）和g（x）在点x0处都间断，则f（x）+g（x）和f（x）·g（x）在点x0处一定间断吗？35

2．设f（x）在点x0处连续，g（x）在点x0处间断，则f（x）+g（x）和f（x）·g（x）在点x0处的连续性又如何？35

3．间断函数平方后仍为间断函数吗？36

四、复合函数的连续性36

1．设g（x）在点x0处间断，g（x0）=u0,f（u）在点u0处连续，则复合函数f〔g（x）〕在点x0处一定间断吗？36

2．设g（x）在点x0处间断，g（x0）=u0,f（u）在点u0处间断，则复合函数f〔g（x）〕在点x0处一定间断吗？37

3．设lim x→x0 g(x)=u0且极限lim u→u0 f(u)存在，则lim x→x0 f〔g(x)〕=lim u→u0 f(u)一定成立吗？38

4．如果lim x→x0 g(x)=u0，且在点x0的邻域内g(x)≠u0,lim u→u0 f(u)存在，则lim x→x0 f〔g(x)〕=lim u→u0 f(u)一定成立吗？39

5．设g（x）在点x0处连续，g（x0）=u0，极限lim u→u0 f(u)存在，则lim x→x0 f〔g(x)〕=f〔lim x→x0 g(x)〕一定成立吗？40

6．如果lim x→x0 g(x)=u0,f(u)在点u0处连续，则lim x→x0 f〔g(x)〕=f〔lim x→x0 g(x)〕41

五、初等函数的连续性42

1.4 导数与微分42

一、导数的概念、可导与连续的关系42

1．可导与连续的关系42

2．函数的导函数不一定连续44

3．？44

4．如果导函数有间断点，则是第几类间断点呢？46

5．如果函数f（x）在（a,b）内可导，但无界，则f'（x）在（a,b）内亦无界47

6．如果函数f（x）在（a,b）内可导，lim x→a f(x)=∞与lim x→a f′(x)=∞不能互推47

7．如果函数f（x）在区间（a,+∞）内可导，由极限lim x→+∞ f(x)的存在不一定能推出lim x→∞ f′(x)的存在，反之亦然49

二、导数运算性质49

1．设和f（x）和g（x）在点x0处都不可导，则f（x）+g（x），f（x）·g（x）在点x0处一定不可导吗？49

2．设f（x）在点x0处可导，g（x）在点x0处不可导，则f（x）·g（x）在点x0处一定不可导吗？50

三、复合函数导数50

1．设g（x）在点x0处不可导，u0=g（x0），f（u）在点u0处可导，则f〔g（x）〕在点x0处一定不可导吗？50

2．设g（x）在点x0处可导，u0=g（x0），f（u）在点u0处不可导，则f〔g（x）〕在点x0处可导吗？50

3．设g（x）在点x0处不可导，u0=g（x0），f（u）在点u0处也不可导，则f〔g（x）〕在点x0处可导吗？51

4．如何求复合函数的导数？51

四、高阶导数与微分52

1．高阶导数的求法52

2．为什么说，函数的微分是函数增量的线性主部？54

3．为什么自变量的微分等于自变量的增量？55

1.5 中值定理与导数的应用55

一、中值定理55

1．当罗尔定理的条件不满足时，定的结论不一定成立55

2．当拉格朗日中值定理的条件不满足时，定理的结论不一定成立57

3．当柯西中值定理的条件不满足时，定理的结论不一定成立58

二、罗必塔法则的灵活运用59

1．任何“0/0”型未定式都可以用罗必塔法则求极限吗？59

2．任何“∞/∞”型未定式都可以用罗必塔法则求极限吗？60

3．可用罗必塔法则求极限lim x→∞ ex-e-x/ex+e-x吗？60

4．可用罗必塔法则证明极限lim x→0 sinx/x=1吗？61

5．可否直接用罗必塔法则求数列的极限？61

三、导数的应用之一——函数的单调性63

1．设f（x）在〔a,b〕上连续，在（a,b）内可导，如果f'（x）在（a,b）内的有限个点或无穷多个离散点处为零，在其余各点处均为正，则f（x）在〔a,b〕上一定单调增加吗？63

2．由f'（x0）>0，可判定f（x）在点x0的邻域内单调增加吗？64

3．单调函数的导函数一定单调吗？65

四、导数的应用之二——极值性65

1．函数的极值与最值的区别与联系65

2．函数的驻点不一定是极值点66

3．函数在不可导点处不一定有极值66

4．当函数在驻点处的二阶导数等于零时，如何判断函数在该驻点处的极值情况？66

5．如果函数f（x）在点x0处有极大值，能否肯定：f（x）在点x0的某充分小的邻域内，在点x0的左侧单调增加，而在右侧单调减少？67

五、导数的应用之三——导数在经济问题中的应用68

1．边际函数68

2．函数的弹性72

3．需求弹性78

4．需求弹性对总收益的变化83

5．经济批量的求法90

1.6 不定积分97

一、不定积分的概念97

1．怎样理解原函数的概念？97

2．一切初等函数都有原函数吗？98

3．怎样理解不定积分的概念？99

4．同一个被积函数的不定积分可以有不同的表达式吗？100

5．初等函数的不定积分都可以表示成有限形式吗？102

二、正确运用不定积分的换元法和分部积分法102

1．如何使用第一类换元法求不定积分？102

2．如何使用第二类换元法求不定积分？105

3．如何使用分部积分法求不定积分？107

三、有（无）理式不定积分的巧妙运用109

1．如何求有理函数的不定积分109

2．如何求三角函数的有理式的不定积分？110

3．如何求形如R（x，？）的无理函数的不定积分？113

1.7 定积分及其应用115

一、定积分的概念115

1．怎样理解定积分的定义115

2．如何根据定积分的定义求定积分的值118

二、微积分基本定理、牛顿——莱布尼兹公式120

1．已知f（x）是〔a,b〕上的连续函数，可用牛顿——莱布尼兹公式证明∫a b f（x）dx=-∫b a f（x）dx（b>a）吗？120

2．可根据∫a b f(x)dx=-∫b a(x)dx（b>a）来证明∫a a f(x)dx=0吗？121

3．当函数f（x）在区间〔a,b〕上具有原函数时，f（x）在〔a,b〕上不可积121

4．当函数f（x）在区间〔a,b〕上可积时，f（x）在〔a,b〕上不一定具有原函数122

5．f（x）+g（x）在〔a,b〕上可积，则f（x），g（x）在〔a,b〕上不一定可积122

6．如何正确使用牛顿——莱布尼兹公式？123

三、定积分的计算及其应用124

1．如何正确使用定积分的换元公式？124

2．定积分的应用——元素法125

1.8 级数128

一、级数的概念128

1．怎样理解无穷级数及其和的概念？128

2．级数的敛散性与数列的敛散性的联系129

3．一般项趋于零的级数一定收敛吗？130

二、正项级数131

1．正项级数的比值判别法可能失效吗？131

2．正项级数的根值判别法可能失效吗？133

3．在正项级数的积分判别法中，函数f（x）的单调性这个条件不可省略134

4．正项级数的敛散性判别法不可直接应用于任意项级数135

三、交错级数136

1．在交错级数的莱布尼兹判别法中，数列un的单调性这个条件不可省略136

四、绝对收敛137

1．级数的绝对收敛和收敛的区别与联系137

2．级数的绝对收敛性在级数理论中所起的作用138

3．一致收敛的函数项级数一定收敛吗？一定绝对收敛吗？140

4．函数项级数的一致收敛性在级数理论中起什么作用？142

五、幂级数144

1．幂级数的收敛域有何特点？144

2．当两个幂级数的收敛半径相等时，它们的收敛区间不一定相同146

3．当幂级数逐项微分或逐项积分后所得幂级数的收敛区间有可能会发生变化146

4．在点x=0的邻域内具有各阶导数的任何函数都可以展开为x的幂级数吗？147

5．展开式（1+x）ln（1+x）=x+？在什么区间上成立？149

1.9 多元函数的微分法及其应用151

一、二元函数的概念、极限、连续151

1．如何理解二元函数的概念？151

2．怎样理解二元函数的极限？152

3．二元函数极限的分析定义对P0是函数定义区域D的边界点的情形是否适用？154

4．如果在求二元函数xy/x+y当x→0,y→0的极限时，令x=γcosθ，y=rsinθ,于是？对吗？155

5．如果一元函数f（x,y0）和f（x0,y）分别在x0和y0连续，则二元函数f（x,y）在（x0,y0）不一定连续156

二、偏导数157

1．可把偏导数的记号（如？）看成商或分数吗？157

2．任何二元连续函数不一定存在偏导数158

3．偏函数？和？在点P0（x0,y0）处都存在，则z=f（x,y）在点P0处一定连续吗？159

三、全微分160

1．？和？在点P0（x0,y0）都存在，则f（x,y）在点P0的全微分不一定存在160

2．如果？和？在点P0（x0,y0）的某邻域内有界，则f（x,y）在点P0的全微分（dz ｜（x0,y0））不一定存在161

3．如果函数z=f（x,y）在点P0（x0,y0）的全微分存在，则偏导数？和？在点P0处不一定连续162

4．如果在点P0（x0,y0），函数f（x,y）沿任一方向a的方向导数都存在，则f（x,y）在点P0的全微分一定存在吗？163

5．多元函数全微分的运算法则164

四、多元复合函数的导数165

1．多元复合函数求导公式的规律165

2．u=？（x,y）在点（x,y）可微，z=f（u）在相应的点u也可微，则dz=f'（u）du成立吗？167

3．设z=f（u，υ）的偏导数？和？都存在，u=？（t），υ=？（t）的导数du/dt和dυ/dt也都存在，则全导数公式dz/dt=？·du/dt+？·dυ/dt不一定成立168

4．隐函数存在定理在隐函数的研究中所起的作用169

五、多元函数的极值171

1．对于任何二元函数，fy=f"yx不一定成立171

2．拉普拉斯方程？+？=0在极坐标系中的形式172

3．二元函数的极值点不一定是驻点，反之亦然173

4．如果二元连续函数在某区域内只有一个极植，且是极大（小）值，则它不一定是函数在该区域上的最大（小）值174

5．在区域内连续的二元函数在该区域内是否有可能具有多个极大值，而无极小值？175

6．如何求函数在某区域上的最大（小）值？176

7．如何求解条件极值？178

1.10 重积分183

一、直角坐标系下二重积分的概念与计算183

1．二重积分的定义183

2．如何化二重积分为二次积分？184

3．怎样交换二次积分的次序？187

4．在直角坐标系中任何二重积分不一定都可化成二次积分189

二、极坐标系下二重积分的计算190

1．怎样利用极坐标计算二重积分190

2．在哪些情况下适宜于用极坐标计算二重积分？191

三、二重积分的换元法194

1．如何理解二重积分的换元公式？194

2．当二重积分的积分区域D包含原点时，换元公式？=？是否仍然成立197

四、三重积分的概念与计算198

1．三重积分的定义198

2．如何化三重积分为三次积分？199

3．三重积分的换元公式201

4．在哪些情况下适宜于用柱面坐标、球面坐标来计算三重积分？202

5．由定积分、二重、三重积分引出的n重积分的概念204

1.11 微分方程与差分方程206

一、微分方程及其解206

1．怎样理解微分方程的通解和特解206

2．变量可分离的微分方程及其解208

二、常系数线性微分方程211

1．用常数变易法求解线性微分方程211

2．怎样求解常系数线性微分方程？215

3．全微分方程的解217

三、积分因子与变量代换218

1．怎样找积分因子？218

2．变量代换在求解微分方程中所起的作用223

四、线性微分方程的一般解法224

1．怎样求解一般的线性微分方程？224

2．用消元法求解常系数线性微分方程组228

五、一阶差分方程的解法229

1．差分的概念229

2．差分方程的概念231

3．一阶常系数线性差分方程的解法232

第二部分 思考问题常用方法241

2.1 分析法与综合法241

一、思路相反的两种方法241

二、一类不等式的证题思路246

1．利用拉格朗日（Lagrange）中值定理247

2．利用函数的单调性251

3．利用函数的最大（小）值258

三、微积分最基本的思考方法260

2.2 数形结合法272

一、由曲线的切线所想到的272

二、定积分的几何意义给我们的启发280

2.3 分段处理法288

一、分段处理法288

二、抓住每段特点解题290

2.4 特殊一般法301

一、从柯西不等式的证明谈起301

二、由特殊情况发现解题思路303

2.5 类比法314

一、引子314

二、类比法317

三、探求新知识的有力工具323

2.6 逆向思维法326

一、反证法326

二、反例法332

第三部分 有关定理证明335

3.1 极限lim n→∞(1+1/n)n=e的多种证法335

一、运用平均值不等式335

二、运用贝努里不等式337

三、巧用不等式的基本性质338

四、一个简单不等式的利用340

五、利用间接法341

1．利用平均值不等式341

2．利用贝努里不等式342

3．利用不等式的基本性质342

4．利用一个简单不等式343

3.2 海涅定理及其应用344

一、海涅定理的含义344

二、海涅定理的分析与证明345

1．必要性的证明346

2．充分性的证明347

三、海涅定理各种情形简介348

四、海涅定理的应用349

1．证明函数极限不存在350

2．求数列极限351

3．证明函数极限的性质352

3.3 有关复合函数极限的证明355

3.4 实数连续性定理的循环证明355

一、实数连续性的几个基本定理355

二、实数连续性定理的循环证明356

1．用实数的连续性证明确界原理356

2．由确界原理证明单调有界定理358

3．由单调有界定理证明区间套定理358

4．由区间套定理证明有限覆盖定理359

5．用有限覆盖定理证明聚点定理360

6．用聚点定理证明致密性定理361

7．用致密性定理证明柯西收敛准则361

8．用数列的柯西收敛准则证明确界原理362

9．用区间套定理证明实数集合的连续性命题364

3.5 有关闭区间上连续函数性质的证明365

一、有界性定理的证明365

二、最大最小值定理的证明369

三、介值定理的证明371

四、一致连续性定理的一个反证法373

3.6 附 反命题的学习375

一、反命题375

二、怎样正确叙述反命题376

三、几个重要的反命题379

1．数列极限定义的反命题379

2．函数极限定义的反命题380

3．柯西收敛准则的反命题381

4．函数一致连续定义的反命题382

四、反命题的运用382