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1基本概念1

1.1引言1

1.2集合的古典定义1

1.3集合及其表示法3

1.4子集与集合的包含关系6

2集合代数8

2.1集合上的运算8

2.2集合的Vemn图15

3关系18

3.1关系及其表示法18

3.2二元关系与映射22

3.3特殊的二元关系28

3.4等价关系与划分37

3.5序关系与偏序集39

4映射（函数）45

4.1映射（函数）的概念45

4.2复合映射与逆映射48

4.3函数概念的拓展52

5集合的基数56

5.1有限集与无限集56

5.2可列集与不可列集57

5.3集合的基数61

6集合论悖论与公理集合论68

6.1悖论68

6.2公理集合论72

7.1幻方与中国古代的传说79

7若干著名的组合学和图论问题79

7.236军官问题和拉丁方81

7.3从Konigsberg7桥问题与中国邮递员问题82

7.4命子笼原理与Ramsey数83

7.5地图着色与四色猜想（定理）83

7.6绕行世界与旅行商问题84

7.7电路与网络85

7.8从分子结构到图的计数86

7.9Kirkman女生问题与三元系86

7.10试验设计与组合设计87

8.1二项式系数的基本恒等式89

8组合公式和组合数89

8.2二项式定理及有关和式90

8.3二阶组合恒等式91

8.4三阶组合恒等式91

8.5广义二项式定理92

8.6多项式系数93

8.7Gauss二项式系数94

8.8排列数94

8.9组合数95

8.10映射数与序列数96

8.11第一类Stirling数97

8.12第二类Stirling数98

8.13Bell数100

8.14Fibonacci数101

8.15Lucas数103

8.16Catalan数104

8.17Ramsey数105

8.18Lah数107

8.19Bernoulli数和Euler数108

9组合计数方法与问题109

9.1初等计数原理109

9.2包含与排斥原理109

9.3有限集的子集的计数问题112

9.4置换的计数问题113

9.5集合的划分数114

9.6整数的分拆数115

9.7Burnside引理119

9.8置换群的轮换指标120

9.9Polya定理123

9.10Polya定理的应用125

9.11图的计数131

10图的基本概念与参数135

10.1图的定义与简单分类135

10.2邻接与关联137

10.3度、度序列与边数138

10.4子图140

10.5路与圈141

10.6距离与中心142

10.7图的运算143

10.8图的同构、同态与同胚144

10.9图的独立集、团和覆盖145

10.10一些特殊图类147

11图论中若干问题159

11.1图的连通性159

11.2图的平面性161

11.3图的拓扑不变量164

11.4图的Hamilton问题168

11.5图的匹配与因子分解问题170

11.6图的着色问题172

11.7图的代数理论178

12离散变换与反演公式184

12.1离散变换的一般形式184

12.2二项式变换185

12.3Stirling变换188

12.4Mobius变换189

12.5离散Fourier变换194

12.6Lagrange变换（反演公式）195

12.7Lah变换（反演公式）196

13组合设计197

13.1区组设计与拉丁方197

13.2正交设计与正交试验设计199

13.3平衡不完全区组设计208

13.4三元系211

14半群与群215

14.1引言215

14.2半群的定义及例子215

14.3半群的基本性质217

14.4半群的同态与同构223

14.5半群在自动机理论及形式语言中的应用227

14.6群的定义及例子236

14.7群的基本性质239

14.8子群241

14.9特殊群242

14.10群的分解251

14.11群的同态与同构255

14.12群在编码理论中的应用257

15环与域279

15.1定义、例子及简单性质279

15.2特殊环283

15.3子环与中心285

15.4理想与商环286

15.5环的同态、同构与反同构290

15.6环的特征293

15.7利用最大理想造域295

15.8环的嵌入295

15.9分式域296

15.10多项式环297

15.11域的单扩张301

15.12任意域的构造303

15.13代数闭域与多项式的分裂305

15.14有限域（Galois域）308

15.15可分扩域311

15.16整环中的因子分解312

15.17环论在编码理论中的应用316

15.18拉丁方与有限几何学324

16模332

16.1定义及例子332

16.2子模与商模334

16.3模同态及基本定理336

16.4加群上的及模上的自同态环339

16.5自由模340

16.6模的直和344

16.7主理想整环上的有限生成模345

16.8应用356

17域上的代数358

17.1结合代数的定义及例子358

17.2外代数361

17.3结合代数的正则矩阵表示363

17.4非结合代数、李代数及约当代数367

17.5有限维结合可除代数373

18格与Boolew代数375

18.1偏序集与格375

18.2子格与格同态380

18.3格的分类381

18.4Boole代数的定义、例子及性质384

18.5Boole代数的构造387

18.6Boole函数及其表达式391

18.7Boole函数的极小化398

18.8Boole函数在电路设计中的应用400

19范畴与函子408

19.1范畴的定义及例子409

19.2某些基本的范畴概念412

19.3对偶原则417

19.4函子418

19.5自然变换423

19.6范畴的等价427

19.7积与上积428

19.8核与上核431

19.9拉回与推出433

19.10hom函子与可表示函子436

19.11加法范畴与Abel范畴438

19.12通用结构440

19.13伴随函子444

20泛代数446

20.1Ω代数446

20.2子代数与积448

20.3同态与同余450

20.4同余格与子直积453

20.5正向极限与逆向极限455

20.6超积458

20.7自由Ω代数460

20.8簇463

21标准（古典）命题逻辑467

21.1命题符号化467

21.2命题联结词，真值表468

21.3其他联结词472

21.4联结词的功能完备集（完全集）475

21.5命题形式与等价（等值）演算477

21.6范式与真值表技术487

21.7命题逻辑的推理系统命题演算497

22标准（古典）谓词逻辑514

22.1谓词与量词514

22.2函数，项与合式公式（谓词公式）523

22.3结构，可满足性，真值，模型526

22.4谓词公式（命题函数）与等值演算532

22.5谓词逻辑的揄系统536

23非标准（非古典）逻辑551

23.1引言551

23.2模态逻辑552

23.3多值逻辑564

附录582

参考文献650