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14非完整系统309

14.1基本概念309

14.1.1约束对虚位移的限制309

14.1.2微分运算d与变分运算δ的交换关系310

14.1.3 d， δ交换关系，满足约束的可能轨道与Четаев条件三者的协调性312

14.2运动微分方程313

14.2.1 d’Alembert-Lagrange原理的各种表达313

14.2.2带乘子的方程313

14.2.3 Чаплыгин方程314

14.2.4 Boltzmann-Hamel方程316

14.2.5 Appell方程318

14.2.6关于Lindelof方程319

14.3积分方法322

14.3.1非完整系统的循环积分及其降阶法322

14.3.2非完整系统的能量积分及其降阶法324

14.3.3 Jacobi方法329

14.4专门问题332

14.4.1非完整系统平衡状态附近的小振动332

14.4.2相对运动动力学336

14.4.3打击运动339

14.4.4变质量系统343

思考题345

习题346

参考文献346

15 Birkhoff系统348

15.1 Pfaff-Birkhoff原理348

15.1.1 Birkhoff的贡献348

15.1.2 Santilli的总结349

15.1.3 Pfaff-Birkhoff原理349

15.1.4 Pfaff-Birkhoff原理的推广350

15.2 Birkhoff方程350

15.2.1 Birkhoff方程的导出350

15.2.2 Birkhoff方程的形式352

15.2.3 Birkhoff方程的性质353

15.2.4广义Birkhoff方程355

15.3 Birkhoff函数的构造356

15.3.1 Santilli第一方法356

15.3.2 Santilli第二方法356

15.3.3 Hojman方法357

15.3.4自治系统Birkhoff函数的构造357

15.3.5构造Birkhoff表示的困难359

15.4 Birkhoff方程的积分362

15.4.1经典积分及降阶法362

15.4.2 Poisson方法367

15.4.3变换理论370

15.4.4积分不变量373

15.5专门问题374

15.5.1完整系统的Birkhoff动力学374

15.5.2非完整系统的Birkhoff动力学376

15.5.3约束Birkhoff系统379

15.5.4平衡稳定性382

思考题385

习题385

参考文献387

16场积分方法388

16.1求解常微分方程的场方法388

16.1.1场方法388

16.1.2应用390

16.2完整系统的场方法391

16.2.1运动微分方程391

16.2.2场方法的应用391

16.3非完整系统的场方法393

16.3.1运动微分方程393

16.3.2应用举例395

16.4 Birkhoff系统的场方法400

16.4.1运动微分方程400

16.4.2应用举例400

思考题403

习题403

参考文献404

17势积分方法405

17.1势积分方法介绍405

17.1.1势积分方法405

17.1.2势积分方法的简单应用407

17.2完整系统的势积分方法408

17.2.1系统的运动微分方程408

17.2.2应用举例408

17.3非完整系统的势积分方法412

17.3.1系统的运动微分方程412

17.3.2应用举例413

17.4 Birkhoff系统的势积分方法415

17.4.1系统的运动微分方程415

17.4.2应用举例416

思考题418

习题418

参考文献419

18 Jacobi最终乘子法420

18.1一般微分方程组的Jacobi最终乘子420

18.1.1最终乘子420

18.1.2由两个乘子导出积分421

18.1.3对Lagrange力学逆问题的应用421

18.1.4应用举例422

18.2 Hamilton系统的最终乘子423

18.2.1最终乘子对Hamilton系统的应用423

18.2.2二自由度情形424

18.2.3应用举例426

18.3广义Hamilton系统的最终乘子427

18.3.1系统的最终乘子427

18.3.2应用举例428

18.4 Birkhoff系统的最终乘子431

18.4.1系统的最终乘子431

18.4.2广义Birkhoff方程的最终乘子433

18.4.3应用举例434

思考题438

习题438

参考文献439

19 Noether对称性方法440

19.1 Lagrange系统440

19.1.1运动微分方程440

19.1.2 Noether对称性441

19.1.3 Noether守恒量443

19.1.4应用举例443

19.2 Hamilton系统445

19.2.1运动微分方程446

19.2.2 Noether对称性446

19.2.3 Noether守恒量448

19.2.4应用举例449

19.3一般完整系统450

19.3.1运动微分方程450

19.3.2 Noether对称性450

19.3.3 Noether守恒量451

19.3.4应用举例451

19.4 ЧeTaeв型非完整系统452

19.4.1运动微分方程452

19.4.2 Noether对称性453

19.4.3 Noether守恒量454

19.4.4应用举例454

19.5 Birkhoff系统457

19.5.1运动微分方程457

19.5.2 Noether对称性458

19.5.3 Noether守恒量460

19.5.4应用举例460

19.6弱Noether对称性与守恒量462

19.6.1 Lagrange系统462

19.6.2 Hamilton系统464

19.6.3一般完整系统465

19.6.4 Четаев型非完整系统466

19.6.5 Birkhoff系统467

思考题468

习题469

参考文献470

20 Lie对称性方法472

20.1 Lagrange系统472

20.1.1运动微分方程472

20.1.2 Lie对称性472

20.1.3 Hojman型守恒量473

20.1.4 Noether守恒量474

20.1.5应用举例475

20.2 Hamilton系统476

20.2.1运动微分方程476

20.2.2 Lie对称性477

20.2.3 Hojman型守恒量478

20.2.4 Noether守恒量478

20.2.5应用举例478

20.3一般完整系统480

20.3.1运动微分方程480

20.3.2 Lie对称性480

20.3.3 Hojman型守恒量481

20.3.4 Noether守恒量481

20.3.5应用举例481

20.4 ЧeTaeв型非完整系统484

20.4.1运动微分方程484

20.4.2 Lie对称性485

20.4.3 Hojman型守恒量485

20.4.4 Noether守恒量486

20.4.5应用举例487

20.5 Birkhoff系统488

20.5.1运动微分方程488

20.5.2 Lie对称性489

20.5.3 Hojman型守恒量490

20.5.4 Noether守恒量491

20.5.5应用举例492

20.6广义Hamilton系统493

20.6.1运动微分方程493

20.6.2 Lie对称性494

20.6.3 Hojman型守恒量494

20.6.4 Noether守恒量495

20.6.5应用举例496

思考题497

习题497

参考文献498

21形式不变性方法500

21.1 Lagrange系统500

21.1.1运动微分方程500

21.1.2形式不变性500

21.1.3新型守恒量501

21.1.4 Noether守恒量502

21.1.5 Hojman型守恒量502

21.1.6应用举例503

21.2 Hamilton系统505

21.2.1运动微分方程505

21.2.2形式不变性505

21.2.3新型守恒量506

21.2.4 Noether守恒量506

21.2.5 Hojman型守恒量507

21.2.6应用举例507

21.3一般完整系统509

21.3.1运动微分方程509

21.3.2形式不变性510

21.3.3新型守恒量510

21.3.4 Noether守恒量511

21.3.5 Hojman型守恒量511

21.3.6应用举例512

21.4 Четаев型非完整系统514

21.4.1运动微分方程514

21.4.2形式不变性515

21.4.3新型守恒量516

21.4.4 Noether守恒量516

21.4.5 Hojman型守恒量517

21.4.6应用举例517

21.5 Birkhoff系统521

21.5.1运动微分方程521

21.5.2形式不变性522

21.5.3新型守恒量522

21.5.4 Noether守恒量523

21.5.5 Hojman型守恒量523

21.5.6应用举例524

21.6广义Hamilton系统526

21.6.1运动微分方程526

21.6.2形式不变性526

21.6.3新型守恒量527

21.6.4 Hojman型守恒量527

21.6.5应用举例528

思考题530

习题530

参考文献531

22 Lagrange对称性方法与Birkhoff对称性方法533

22.1 Lagrange系统533

22.1.1运动微分方程533

22.1.2 Lagrange对称性的定义和判据534

22.1.3 Lagrange对称性导致的守恒量534

22.1.4应用举例537

22.2一般完整系统539

22.2.1运动微分方程539

22.2.2 Lagrange对称性的定义和判据539

22.2.3 Lagrange对称性导致的守恒量540

22.2.4应用举例540

22.3有多余坐标完整系统541

22.3.1运动微分方程541

22.3.2 Lagrange对称性的定义和判据542

22.3.3 Lagrange对称性导致的守恒量543

22.3.4应用举例543

22.4相对运动动力学系统544

22.4.1运动微分方程544

22.4.2 Lagrange对称性的定义和判据544

22.4.3 Lagrange对称性导致的守恒量545

22.4.4应用举例545

22.5变质量完整系统546

22.5.1运动微分方程546

22.5.2 Lagrange对称性的定义和判据547

22.5.3 Lagrange对称性导致的守恒量547

22.5.4应用举例548

22.6非完整系统549

22.6.1运动微分方程549

22.6.2 Lagrange对称性的定义和判据549

22.6.3 Lagrange对称性导致的守恒量550

22.6.4应用举例551

22.7 Birkhoff系统的Birkhoff对称性553

22.7.1运动微分方程553

22.7.2 Birkhoff对称性的定义和判据554

22.7.3 Birkhoff对称性导致的守恒量554

22.7.4应用举例558

思考题561

习题562

参考文献562

23力学系统与梯度系统564

23.1梯度系统与斜梯度系统564

23.1.1微分方程564

23.1.2梯度系统的性质565

23.1.3斜梯度系统的性质565

23.2 Lagrange系统与梯度系统565

23.2.1运动微分方程565

23.2.2化成梯度系统566

23.2.3稳定性566

23.2.4化成斜梯度系统566

23.2.5应用举例567

23.3 Hamilton系统与梯度系统568

23.3.1运动微分方程568

23.3.2化成梯度系统568

23.3.3稳定性568

23.3.4化成斜梯度系统569

23.3.5应用举例569

23.4一般完整系统与梯度系统569

23.4.1运动微分方程570

23.4.2化成梯度系统570

23.4.3稳定性570

23.4.4化成斜梯度系统571

23.4.5应用举例571

23.5 Birkhoff系统与梯度系统573

23.5.1运动微分方程573

23.5.2化成梯度系统574

23.5.3稳定性574

23.5.4化成斜梯度系统574

23.5.5应用举例575

23.6广义Hamilton系统与梯度系统577

23.6.1运动微分方程577

23.6.2化成梯度系统578

23.6.3稳定性578

23.6.4化成斜梯度系统578

23.6.5应用举例578

思考题580

习题580

参考文献581

24动力学逆问题582

24.1完整系统582

24.1.1广义坐标中Lagrange方程的建立582

24.1.2按给定的一个积分确定广义力584

24.1.3 Noether对称性与动力学逆问题587

24.1.4 Poisson方法与动力学逆问题591

24.2非完整系统593

24.2.1运动方程的组建593

24.2.2运动方程的修改596

24.2.3 Bertrand定理的推广599

24.2.4 Noether对称性与动力学逆问题603

24.3 Birkhoff系统606

24.3.1运动方程的组建606

24.3.2 Noether对称性与动力学逆问题609

24.3.3根据Pfaff-Birkhoff-d’Alembert原理组建运动方程612

24.3.4 Poisson方法与动力学逆问题614

思考题615

习题615

参考文献616

25力学的变分原理618

25.1 d’Alembert-Lagrange原理618

25.1.1 d’Alembert原理618

25.1.2虚位移原理619

25.1.3 d’Alembert-Lagrange原理的表述619

25.1.4 d’Alembert-Lagrange原理在广义坐标中的表达619

25.2 Jourdain原理620

25.2.1 Jourdain原理的表述620

25.2.2 Jourdain原理在广义坐标中的表达621

25.3 Gauss原理621

25.3.1 Gauss原理的表述621

25.3.2 Gauss原理在广义坐标中的表达622

25.4 Hamilton原理623

25.4.1 Hamilton原理的表述623

25.4.2一般完整系统的Hamilton原理624

25.4.3 Hamilton原理应用于近似计算624

25.4.4 Hamilton原理的极值特性626

25.4.5非完整系统的Hamilton原理627

25.4.6 CyслоB例与Pars例628

25.5 Lagrange原理630

25.5.1 Lagrange原理的表述630

25.5.2 Lagrange原理的其他形式631

25.6 Pfaff-Birkhoff原理633

25.6.1 Pfaff-Birkhoff原理的表述633

25.6.2 Hamilton原理是Pfaff-Birkhoff原理的特例633

25.6.3 Pfaff-Birkhoff原理与Birkhoff方程634

25.6.4 Pfaff-Birkhoff原理的一个推广634

25.7力学变分原理发展简史635

25.7.1力学变分原理的发展635

25.7.2力学与物理学中变分原理的含义和意义635

思考题636

习题637

参考文献637

索引639