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第一讲 实数与实函数1

1.1 实数与实函数的基本概念1

一、实数1

二、实数的性质1

三、关于实数点集的一些重要概念2

四、实函数4

1.2 实数与实函数的典型问题讨论5

习题18

第二讲 数列的极限10

2.1 数列极限的基本概念10

一、数列的收敛与发散10

二、数列收敛的条件11

2.2 求数列极限的方法12

一、利用单调有界原理12

二、利用迫敛法则14

三、利用柯西准则15

四、利用Stolz定理15

五、利用特殊极限16

六、利用定积分16

七、利用级数17

八、转化为函数的极限18

九、各种方法的综合应用18

习题220

第三讲 一元函数的极限22

3.1 一元函数极限的基本概念22

一、一元函数极限的类型与定义22

二、一元函数极限存在的条件22

三、一元函数极限的性质23

四、无穷小量与无穷大量23

3.2 一元函数极限的典型例题及方法23

一、利用定义23

二、利用双侧极限26

三、利用特殊极限27

四、利用无穷小量27

五、利用泰勒展式28

六、利用洛必达法则28

七、利用迫敛法则29

八、综合方法的应用30

习题330

第四讲 一元函数的连续性32

4.1 一元函数的连续与间断32

一、函数在一点的连续性32

二、函数在区间上的连续性32

4.2 关于函数连续性的问题讨论33

一、利用定义讨论连续性33

二、关于连续函数性质的讨论36

三、关于一致连续性的讨论39

习题443

第五讲 导数与微分44

5.1 导数与微分的基本概念44

一、可导与导数44

二、可微与微分45

5.2 关于导数与微分的一些问题讨论46

一、用导数的定义证明问题46

二、导函数的特性47

三、导数与微分的计算48

习题553

第六讲 微分中值定理及导数的应用54

6.1 微分中值定理及导数应用的基本概念54

一、微分中值定理54

二、导数的应用56

6.2 微分中值定理及导数应用中的典型问题59

一、有关中值定理问题的证明技巧59

二、凸函数及其特性64

习题668

第七讲 不定积分70

7.1 不定积分的概念70

一、原函数70

二、不定积分70

7.2 不定积分的几个问题讨论73

一、原函数的存在问题73

二、求解不定积分的技巧74

习题778

第八讲 定积分79

8.1 定积分的概念79

一、定积分的定义79

二、可积条件79

三、可积函数类80

四、定积分性质81

五、定积分计算85

8.2 定积分中的问题讨论89

一、用定积分定义证明问题89

二、柯西一施瓦茨不等式系列92

三、函数的零点个数问题93

四、杂例94

五、关于勒让德多项式的微积分性质98

习题8100

第九讲 广义积分101

9.1 广义积分的概念101

一、无穷区间的广义积分101

二、无界函数的广义积分103

9.2 广义积分中的问题讨论105

一、广义积分敛散的判别105

二、被积函数趋于零的问题108

三、广义积分的计算110

习题9114

第十讲 含参变量的积分115

10.1 含参变量积分的基本概念115

一、含参量的正常积分115

二、含参量的广义积分116

10.2 含参量广义积分重点问题讨论119

一、关于一致收敛问题119

二、含参量广义积分的性质121

三、利用含参量积分的性质计算广义积分122

习题10125

第十一讲 数项级数126

11.1 数项级数的基本概念126

一、数项级数的一般性概念126

二、正项级数127

三、一般项级数的敛散性128

11.2 数项级数的一些重要问题讨论129

一、关于级数敛散的概念问题129

二、关于级数敛散的判别问题134

习题11137

第十二讲 函数列与函数项级数139

12.1 函数列与函数项级数的收敛与一致收敛139

一、函数列139

二、函数项级数141

12.2 函数列与函数项级数主要问题讨论144

一、关于一致收敛的判定144

二、关于极限函数与和函数的性质151

习题12153

第十三讲 幂级数与傅里叶级数155

13.1 幂级数与傅里叶级数的一般概念155

一、幂级数155

二、傅里叶级数158

13.2 幂级数与傅里叶级数主要问题讨论160

一、一致收敛及其他性质的证明问题160

二、求收敛域、和函数及展成幂级数或傅里叶级数问题165

习题13169

第十四讲 多元函数的极限与连续171

14.1 多元函数极限与连续的基本概念171

一、关于平面点集171

二、二元函数及极限172

三、二元函数的连续性176

14.2 多元函数极限与连续一些主要问题讨论177

一、对一类在原点处为“0/0”型的函数其极限存在与否的判定177

二、关于连续性问题的讨论178

三、二元函数连续与各变元分别连续问题179

四、杂例181

习题14182

第十五讲 多元函数微分学183

15.1 多元函数微分的基本概念183

一、偏导与全微分183

二、偏导与全微分的计算185

三、隐函数与隐函数组187

四、偏导与全微分的应用191

15.2 多元函数微分学中重点问题讨论195

一、可微、偏导、连续及偏导函数连续之间的关系195

二、关于求偏导及全微分197

三、变量代换化简偏微分方程199

四、混合偏导与求导顺序无关问题200

五、应用问题202

习题15205

第十六讲 重积分206

16.1 重积分的基本概念206

一、二重积分206

二、三重积分210

三、重积分的应用213

16.2 重积分的一些问题讨论216

一、关于重积分计算的典型问题216

二、重积分的证明问题220

习题16222

第十七讲 曲线积分与曲面积分224

17.1 曲线积分与曲面积分的概念224

一、第一型曲线积分224

二、第二型曲线积分226

三、第一型曲面积分229

四、第二型曲面积分231

五、场论初步234

17.2 曲线积分与曲面积分的典型问题236

习题17249

习题提示与参考答案251

参考文献273