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引言1

第一章 预备知识1

1.1 基本集合理论1

1.2 函数与极限3

1.3 测度与质量分布5

1.4 概率论知识10

1.5 注释与参考14

练习14

第二章 Hausdorff测度与维数16

2.1 Hausdorff测度16

2.2 Hausdorff维数18

2.3 Hausdorff维数计算的简单例子19

2.4 Hausdorff维数的等价定义21

2.5 更精细的维数定义21

2.6 注释与参考22

练习22

第三章 维数的其它定义24

3.1 盒计数维数25

3.2 盒计数维数的性质和问题29

3.3 修正盒计数维数30

3.4 填隙测度和维数31

3.5 另外一些维数定义33

3.6 注释与参考35

练习35

第四章 维数计算方法37

4.1 基本方法37

4.2 有限测度子集42

4.3 位势理论方法44

4.4 傅里叶（Fourier）变换方法45

4.5 注释与参考46

练习46

第五章 分形集的局部结构48

5.1 密度48

5.2 1-集的结构50

5.3 -集的切线s53

5.4 注释与参考55

练习55

第六章 分形集的投影57

6.1 任意集的投影57

6.2 整数维s-集的投影58

6.3 任意整数维集的投影59

6.4 注释与参考61

练习61

第七章 分形集的积62

7.1 乘积公式62

7.2 注释与参考66

练习66

第八章 分形集的交68

8.1 分形集的交的公式68

8.2 具有大交叠的集簇70

8.3 注释与参考74

练习74

第九章 自相似和自仿射集变换确定的分形76

9.1 迭代函数系统76

9.2 自相似集的维数78

9.3 压缩映射系统的不变集的维数估计82

9.4 自仿射集85

9.5 对编码成象的应用89

9.6 注释与参考92

练习92

第十章 来自数论的例子94

10.1 数的数字分布94

10.2 连分数95

10.3 Diophantine逼近96

10.4 注释与参考98

练习99

第十一章 函数图象100

11.1 图象的维数100

11.2 分形函数的自相关性105

11.3 注释与参考107

练习107

第十二章 来自纯数学中的例子109

12.1 对偶和Kakeya问题109

12.2 Vitushkin猜想111

12.3 凸曲面112

12.4 分数维数的群和环113

12.5 注释与参考114

练习114

第十三章 动力系统116

13.1 排斥子和迭代函数格式117

13.2 Logistic映射118

13.3 伸缩变换和折迭变换120

13.4 螺线123

13.5 连续动力系统125

13.6 小因子理论127

13.7 Liapounov指数和熵129

13.8 注释与参考132

练习132

第十四章 复函数迭代——Julia集134

14.1 Julia集的一般理论134

14.2 二次函数——Mandelbrot集138

14.3 二次函数的Julia集141

14.4 由维数描述的拟圆周的特征146

14.5 解多项式方程的牛顿迭代法147

14.6 注释与参考149

练习150

第十五章 随机分形151

15.1 随机康托集152

15.2 分形渗透156

15.3 注释与参考158

练习158

第十六章 布朗运动与布朗曲面159

16.1 布朗运动159

16.2 分数布朗运动164

16.3 稳定过程167

16.4 布朗曲面168

16.5 注释与参考169

练习170

第十七章 多重分形测度171

17.1 多重分形体系171

17.2 注释与参考178

练习178

第十八章 在物理和力学中的应用179

18.1 分形生长180

18.2 静电势与引力势的奇异性184

18.3 流体动力学与湍流184

18.4 分形与材料损伤断裂187

18.5 断裂表面的分形维数的估测和统计自相似度189

18.6 地质材料力学中的分形196

18.7 注释与参考197

练习198

参考文献199