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第一章 线性空间与线性变换1

1.1 线性空间1

1.1.1 线性空间的概念与性质1

1.1.2 基、维数与坐标2

1.1.3 基变换与坐标变换4

1.2 线性子空间6

1.2.1 子空间的概念6

1.2.2 子空间的运算7

1.3 线性变换9

1.3.1 线性变换的概念与性质9

1.3.2 线性变换的矩阵表示10

1.4 内积空间15

1.4.1 内积空间的概念与性质15

1.4.2 标准正交基19

1.5 欧氏空间21

1.5.1 度量矩阵21

1.5.2 正交变换23

1.6 酉空间25

1.6.1 厄米特矩阵与酉矩阵25

1.6.2 酉变换26

习题一27

数学实验129

第二章 矩阵的标准形33

2.1 多项式矩阵33

2.1.1 多项式矩阵的基本概念33

2.1.2 λ－矩阵的史密斯标准形35

2.1.3 行列式因子和初等因子35

2.1.4 特征矩阵40

2.2 矩阵的约旦标准形与有理标准形42

2.2.1 相似矩阵42

2.2.2 矩阵的约旦标准形44

2.2.3 相似变换矩阵48

2.2.4 矩阵的有理标准形49

2.2.5 规范矩阵的标准形51

2.3 矩阵的最小多项式55

2.3.1 以数字为系数的矩阵多项式55

2.3.2 哈密顿—凯莱定理55

2.3.3 最小多项式56

2.3.4 最小多项式的求法57

2.3.5 与对角矩阵相似的条件59

习题二60

数学实验263

第三章 矩阵分析69

3.1 向量范数69

3.2 矩阵范数74

3.2.1 矩阵范数的概念74

3.2.2 弗罗比尼乌斯范数74

3.2.3 算子范数76

3.3 向量序列和矩阵序列的极限80

3.3.1 向量序列的极限80

3.3.2 矩阵序列的极限81

3.4 函数矩阵的微分与积分84

3.4.1 函数矩阵的微分和积分84

3.4.2 纯量函数关于矩阵的微分88

3.4.3 向量函数关于向量的微分90

3.5 矩阵幂级数91

3.5.1 矩阵级数91

3.5.2 矩阵幂级数92

3.6 矩阵函数94

3.6.1 常见的矩阵函数94

3.6.2 矩阵函数的计算95

3.6.3 矩阵函数的性质105

3.6.4 矩阵函数的多项式表示108

习题三110

数学实验3113

第四章 矩阵函数在工程中的应用120

4.1 矩阵函数在解线性微分方程组中的应用120

4.1.1 常系数线性齐次微分方程组120

4.1.2 常系数线性非齐次微分方程组123

4.1.3 状态转移矩阵124

4.1.4 n阶常系数微分方程126

4.2 系统的能控性与可观性129

4.2.1 定常线性系统的能控性130

4.2.2 定常线性系统的可观性132

习题四134

数学实验4135

第五章 广义逆矩阵139

5.1 广义逆矩阵的概念139

5.2 广义逆矩阵A-141

5.2.1 矩阵的满秩分解141

5.2.2 广义逆矩阵A-的计算法144

5.2.3 广义逆矩阵A-的性质147

5.3 广义逆矩阵A＋148

5.3.1 广义逆矩阵A＋存在唯一性定理及性质148

5.3.2 广义逆矩阵A＋的计算方法149

5.4 广义逆矩阵在解线性方程组的应用152

5.4.1 相容方程组的一般解152

5.4.2 相容线性方程组的最小范数解153

5.4.3 不相容方程组的最小二乘解155

习题五157

数学实验5159

习题答案163

数学实验练习题答案171

参考文献173