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专题1极限与连续1

1.1基本概念与内容提要1

1.一元函数基本概念1

2.数列的极限1

3.函数的极限1

4.证明数列或函数极限存在的方法2

5.无穷小量2

6.无穷大量3

7.求数列或函数的极限的方法3

8.函数的连续性4

1.2竞赛题与精选题解析5

1.求函数的表达式（例1.1―1.4）5

2.利用四则运算求极限（例1.5―1.18）7

3.利用夹逼准则与单调有界准则求极限（例1.19―1.31）12

4.利用两个重要极限求极限（例1.32―1.35）18

5.利用等价无穷小因子代换求极限（例1.36―1.41）19

6.无穷小比较与无穷大比较（例1.42―1.46）21

7.连续性与间断点（例1.47―1.53）22

8.利用零点定理的证明题（例1.54―1.56）24

练习题一25

专题2一元函数微分学27

2.1基本概念与内容提要27

1.导数的定义27

2.左、右导数的定义27

3.微分概念27

4.基本初等函数的导数公式28

5.求导法则28

6.高阶导数29

7.微分中值定理29

8.泰勒公式与马克劳林公式29

9.洛必达法则30

10.导数在几何上的应用31

2.2竞赛题与精选题解析32

1.利用导数的定义解题（例2.1―2.7）32

2.利用求导法则解题（例2.8―2.15）36

3.求高阶导数（例2.16―2.30）38

4.与微分中值定理有关的证明题（例2.31―2.51）43

5.马克劳林公式与泰勒公式的应用（例2.52―2.73）55

6.利用洛必达法则求极限（例2.74―2.87）68

7.导数在几何上的应用（例2.88―2.108）71

8.不等式的证明（例2.109―2.122）81

练习题二90

专题3一元函数积分学93

3.1基本概念与内容提要93

1.不定积分基本概念93

2.基本积分公式93

3.不定积分的计算94

4.定积分基本概念95

5.定积分中值定理95

6.变限的定积分96

7.定积分的计算96

8.奇偶函数与周期函数定积分的性质96

9.定积分在几何与物理上的应用97

10.广义积分98

3.2竞赛题与精选题解析99

1.求原函数（例3.1―3.5）99

2.求不定积分（例3.6―3.20）102

3.利用定积分的定义求极限（例3.21―3.29）106

4.应用积分中值定理解题（例3.30―3.33）109

5.变限的定积分的应用（例3.34―3.51）111

6.定积分的计算（例3.52―3.78）120

7.定积分在几何与物理上的应用（例3.79―3.91）128

8.积分不等式的证明（例3.92―3.118）137

9.积分等式的证明（例3.119―3.122）154

10.广义积分（例3.123―3.132）158

练习题三163

专题4多元函数微分学165

4.1基本概念与内容提要165

1.二元函数的极限与连续性165

2.偏导数与全微分165

3.多元复合函数与隐函数的偏导数167

4.高阶偏导数168

5.二元函数的极值168

6.条件极值168

7.多元函数的最值170

4.2竞赛题与精选题解析170

1.求二元函数的极限（例4.1―4.2）170

2.二元函数的连续性、可偏导性与可微性（例4.3―4.11）171

3.求多元复合函数与隐函数的偏导数（例4.12―4.21）175

4.求高阶偏导数（例4.22―4.31）179

5.求二元函数的极值（例4.32―4.35）184

6.求条件极值（例4.36―4.40）186

7.求多元函数在有界闭域上的最值（例4.41―4.42）189

练习题四190

专题5多元函数积分学193

5.1基本概念与内容提要193

1.二重积分基本概念193

2.二重积分的计算194

3.交换二次积分的次序195

4.三重积分基本概念与计算195

5.重积分的应用197

6.曲线积分基本概念与计算197

7.格林公式199

8.曲面积分基本概念与计算200

9.斯托克斯公式203

10.高斯公式203

5.2竞赛题与精选题解析204

1.二重积分的计算（例5.1―5.18）204

2.交换二次积分的次序（例5.19―5.30）212

3.三重积分的计算（例5.31―5.35）217

4.与重积分有关的不等式的证明（例5.36―5.41）219

5.曲线积分的计算（例5.42―5.45）224

6.应用格林公式解题（例5.46―5.55）225

7.曲面积分的计算（例5.56―5.58）232

8.应用斯托克斯公式解题（例5.59―5.61）234

9.应用高斯公式解题（例5.62―5.67）235

10.多元函数积分学的应用题（例5.68―5.76）240

练习题五245

专题6空间解析几何248

6.1基本概念与内容提要248

1.向量的基本概念与向量的运算248

2.空间的平面249

3.空间的直线249

4.空间的曲面250

5.空间的曲线251

6.2竞赛题与精选题解析252

1.向量的运算（例6.1―6.4）252

2.空间平面的方程（例6.5―6.8）253

3.空间直线的方程（例6.9―6.14）255

4.空间曲面的方程与空间曲面的切平面（例6.15―6.25）257

5.空间曲线的方程与空间曲线的切线（例6.26―6.30）261

练习题六265

专题7级数267

7.1基本概念与内容提要267

1.数项级数的主要性质267

2.正项级数敛散性判别法267

3.任意项级数敛散性判别法268

4.幂级数的收敛半径、收敛域与和函数268

5.初等函数关于x的幂级数展开式269

6.傅氏级数269

7.2竞赛题与精选题解析270

1.判别正项级数的敛散性（例7.1―7.14）270

2.判别任意项级数的敛散性（例7.15―7.26）277

3.求幂级数的收敛域与和函数（例7.27―7.44）283

4.求数项级数的和（例7.45―7.53）292

5.求初等函数关于x的幂级数展开式（例7.54―7.60）297

6.求函数的傅氏级数展开式（例7.61）300

练习题七301

专题8微分方程303

8.1基本概念与内容提要303

1.微分方程的基本概念303

2.一阶微分方程303

3.二阶微分方程304

4.微分方程的应用306

8.2竞赛题与精选题解析306

1.微分方程的特解（例8.1―8.3）306

2.变量可分离方程的应用题（例8.4―8.8）307

3.一阶线性微分方程的应用题（例8.9―8.12）311

4.求解二阶线性微分方程（例8.13―8.20）313

5.求解可化为二阶线性微分方程的微分方程（例8.21――8.22）316

练习题八318

练习题答案与提示320