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引子 素数奇趣与猜想1

0.1 哥德巴赫猜想2

0.2 孪生素数猜想2

0.3 回文素数猜想4

0.4 梅森素数的故事5

第1章 整除理论9

1.1 整除概念与判定9

1.1.1 整除与带余除法9

1.1.2 奇数与偶数11

1.1.3 整除判定12

1.1.4 整除概念基础训练与拓展14

1.2 最大公因数与最小公倍数15

1.2.1 最大公因数15

1.2.2 最小公倍数23

1.2.3 最大公因数基础训练与拓展25

1.3 整数分解与素数分布27

1.3.1 素数与合数概念及特征27

1.3.2 算术基本定理30

1.3.3 两种初等整数分解方法33

1.3.4 n！素因数分解35

1.3.5 整数分解正因数定理与完全数39

1.3.6 素数分布及素数定理41

1.3.7 整数分解基础训练与拓展47

第2章 同余理论49

2.1 同余概念及应用49

2.1.1 同余概念49

2.1.2 同余四则运算51

2.1.3 同余在整除判别中的应用53

2.1.4 同余在末位数判别中的应用54

2.1.5 例说同余实际应用56

2.1.6 同余概念基础训练与拓展61

2.2 剩余类与剩余系61

2.2.1 概念及其判别62

2.2.2 剩余系构造64

2.2.3 威尔逊定理与素数判别68

2.2.4 例说完全系实际应用69

2.2.5 剩余类基础训练与拓展72

2.3 欧拉函数的计算与经典同余定理72

2.3.1 欧拉函数的计算公式73

2.3.2 欧拉定理与费马小定理76

2.3.3 费马小定理之逆与伪素数79

2.3.4 欧拉定理对循环小数的应用83

2.3.5 欧拉定理对RSA体制的应用85

2.3.6 欧拉函数基础训练与拓展89

第3章 同余方程91

3.1 一次同余方程91

3.1.1 方程系数与模互素的一次同余方程92

3.1.2 方程系数与模不互素的一次同余方程94

3.1.3 一次同余方程对RSA体制的应用96

3.1.4 一次同余方程基础训练与拓展97

3.2 一次同余方程组与中国剩余定理98

3.2.1 中国剩余定理98

3.2.2 中国剩余定理的思想原则应用102

3.2.3 模不互素的一次同余方程组103

3.2.4 一次同余方程组基础训练与拓展106

3.3 高次同余方程107

3.3.1 高次同余方程的解与解数107

3.3.2 模为素数的高次同余方程110

3.3.3 模为素数幂的高次同余方程113

3.3.4 高次同余方程基础训练与拓展117

3.4 二次剩余与二次同余方程117

3.4.1 二次剩余118

3.4.2 勒让德符号121

3.4.3 高斯二次互反律128

3.4.4 雅可比符号132

3.4.5 二次同余方程解的模式135

3.4.6 二次剩余在零知识证明中的应用139

3.4.7 二次剩余基础训练与拓展141

3.5 原根与离散对数142

3.5.1 阶与原根142

3.5.2 原根存在定理145

3.5.3 原根的个数与求法148

3.5.4 离散对数151

3.5.5 离散对数在密码学中的应用155

3.5.6 n次剩余158

3.5.7 原根基础训练与拓展161

第4章 不定方程162

4.1 实用的一次不定方程162

4.1.1 二元一次不定方程163

4.1.2 二元一次不定方程实际应用165

4.1.3 二元一次不定方程的非负解167

4.1.4 多元一次不定方程171

4.1.5 一次不定方程基础训练与拓展174

4.2 诱惑人的费马方程174

4.2.1 毕达哥拉斯方程175

4.2.2 4次幂费马方程178

4.2.3 费马方程基础训练与拓展182

4.3 魅力无限的同余与不定方程联姻183

4.3.1 奇素数平方和表示183

4.3.2 拉格朗日平方和定理187

4.3.3 奇异的佩尔方程191

4.3.4 同余观下的不定方程196

4.3.5 同余观下的不定方程基础训练与拓展199

基础训练与拓展解答提示201

参考文献225