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第1章 函数与极限1

1.1 函数1

1.1.1 集合1

1.1.2 映射3

1.1.3 变量与函数3

1.1.4 初等函数7

1.2 数列的极限9

1.2.1 数列的基本概念9

1.2.2 数列极限的定义9

1.2.3 收敛数列的性质10

1.3 函数的极限12

1.3.1 自变量趋向无穷大时函数的极限12

1.3.2 自变量趋向有限值时函数的极限13

1.3.3 函数极限的性质14

1.4 无穷小与无穷大15

1.4.1 无穷小15

1.4.2 无穷大15

1.5 极限运算法则16

1.6 极限存在准则和两个重要极限19

1.6.1 准则Ⅰ20

1.6.2 第一个重要极限21

1.6.3 准则Ⅱ22

1.6.4 第二个重要极限22

1.7 无穷小的比较24

1.8 函数的连续性26

1.8.1 函数的连续性26

1.8.2 间断点27

1.8.3 初等函数的连续性28

1.8.4 闭区间上连续函数的性质29

总复习一32

第2章 导数与微分33

2.1 导数的概念33

2.1.1 三个实例33

2.1.2 导数的定义34

2.1.3 函数的可导性与连续性之间的关系37

2.2 函数的求导法则38

2.2.1 函数的和差积商的导数38

2.2.2 反函数的导数39

2.2.3 复合函数的导数40

2.2.4 常用函数的求导公式43

2.3 高阶导数44

2.4 隐函数的导数以及由参数方程所确定的函数的导数46

2.4.1 隐函数的求导方法46

2.4.2 由参数方程所确定的函数的求导法48

2.5 函数的微分50

2.5.1 微分的定义50

2.5.2 常用函数的微分公式与微分运算法则51

总复习二54

第3章 微分中值定理与导数的应用56

3.1 中值定理56

3.1.1 极值定义56

3.1.2 费马定理56

3.1.3 罗尔定理57

3.1.4 拉格朗日定理58

3.1.5 柯西定理60

3.2 洛必达法则62

3.3 泰勒公式65

3.4 函数的单调性与凹凸性68

3.4.1 函数的单调性68

3.4.2 函数的凹凸性70

3.5 函数的极值与应用73

3.5.1 函数极值的求法73

3.5.2 最大值与最小值的求法与应用75

3.5.3 函数的分析作图法77

3.6 弧微分与曲率79

3.6.1 弧微分79

3.6.2 曲率的概念与计算80

总复习三82

第4章 不定积分83

4.1 不定积分的概念及性质83

4.1.1 原函数、不定积分的概念83

4.1.2 基本积分公式84

4.1.3 不定积分的性质85

4.2 换元积分法87

4.2.1 第一换元法87

4.2.2 第二换元法90

4.3 分部积分法92

4.3.1 分部积分法92

4.3.2 综合积分举例94

总复习四97

第5章 定积分及其应用99

5.1 定积分的概念与性质99

5.1.1 两个实例99

5.1.2 定积分的定义101

5.1.3 定积分的性质103

5.2 微积分基本公式106

5.2.1 引例106

5.2.2 变上限函数及其导数107

5.2.3 牛顿-莱布尼茨公式108

5.3 定积分的换元积分法与分部积分法111

5.3.1 换元积分法111

5.3.2 分部积分法114

5.4 广义积分117

5.4.1 无限区间上的广义积分118

5.4.2 无界函数的广义积分119

5.4.3 Γ-函数121

5.5 定积分的应用122

5.5.1 定积分的微元法122

5.5.2 平面图形的面积123

5.5.3 立体体积126

5.5.4 平面曲线的弧长128

5.5.5 定积分在物理上的应用举例130

5.5.6 定积分在经济上的应用举例132

总复习五134

习题参考答案137

参考文献149