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第1部份 数值方法和个人电脑1

Ⅰ.1 学习动机1

Ⅰ.1.1 电脑问世前的方法1

Ⅰ.1.2 数值方法和实际工程应用3

Ⅰ.2 数学背景3

Ⅰ.3 指引方向5

Ⅰ.3.1 范围和预习6

Ⅰ.3.2 目标和目的7

1 数学模式8

习题14

2 在个人电脑上的程式16

2.1 历史背景16

2.2 软体的发展18

2.2.1 演算法设计19

2.2.2 程式组合20

2.2.3 侦错和测试31

2.2.4 文件注解33

2.2.5 储存和维护34

2.3 伞兵问题的程式发展35

2.4 软体策略41

习题44

3 近似和误差50

3.1 有效数字51

3.2 正确性和精准性52

3.3 误差的定义53

3.4 舍位误差57

3.4.1 取舍的规则59

3.5 截尾误差62

3.5.1 泰勒级数62

3.5.2 泰勒级数的余数项67

3.5.3 使用泰勒级数估计截尾误差69

3.5.4 数值微分70

3.6 数值的总误差76

3.7 错误、公式误差和数据不确定77

3.7.1 错误77

3.7.2 公式误差78

3.7.3 数据不确定性78

习题78

结语81

Ⅰ.4 权衡得失81

Ⅰ.5 重要关系和公式85

Ⅰ.6 更深入的方法和额外的参考资料86

第2部份 方程式的根87

Ⅱ.1 学习动机87

Ⅱ.1.1 电脑问世前的求根的方法87

Ⅱ.1.2 方程式的根和实际工程应用88

Ⅱ.2 数学背景89

Ⅱ.3 指引方向91

Ⅱ.3.1 范围和预习91

Ⅱ.3.2 目标和目的92

4 括号方法94

4.1 图解方法94

4.2 半间距法97

4.2.1 终止准则和误差估计100

4.2.2 半间距法的电脑程式103

4.3 假位法106

4.3.1 假位法的缺点109

4.3.2 假位法的电脑程式111

4.4 增量捜寻和决定刚开始的猜值111

习题112

5 开放的方法115

5.1 简单的单点迭代法116

5.1.1 收敛117

5.1.2 单点迭代的电脑程式121

5.2 牛顿拉夫森法121

5.2.1 终止准则和误差估计123

5.2.2 牛顿拉夫森法的缺点125

5.2.3 牛顿拉夫森的电脑程式127

5.3 割线法127

5.3.1 割线法和假位法的差异129

5.3.2 割线法的电脑程式131

5.4 多重根131

习题134

6 解方程式根的实例学习138

实例学习6.1 得失平衡的分析（一般工程）139

实例学习6.2 理想和非理想的气体定律（化学工程）143

实例学习6.3 人口成长动态（土木工程）145

资例学习6.4 电路的设计（电机工程）147

实例学习6.5 振动分析（机械工程）149

结语152

习题152

Ⅱ.4 衡量得失158

Ⅱ.5 重要关系和公式159

Ⅱ.6 更进一步的方法和额外的参考资料159

第3部份 线性代数方程式系统163

Ⅲ.1 学习动机163

Ⅲ.1.1 电脑问世前解方程式系统的技巧164

Ⅲ.1.2 线性代数方程式和实际工程应用164

Ⅲ.2 数学背景166

Ⅲ.2.1 矩阵符号166

Ⅲ.2.2 矩阵的运算规则168

Ⅲ.2.3 线性联立方程式的矩阵表示法173

Ⅲ.3 指引方向174

Ⅲ.3.1 范围和预习174

Ⅲ.3.2 目标和目的176

7 高斯消去法177

7.1 小的方程式系统之解法177

7.1.1 图形法177

7.1.2 行列式和拉马规则179

7.1.3 未知数的消去法183

7.2 缺乏判断力之高斯消去法184

7.2.1 缺乏判断力之高斯消去法的演算法185

7.2.2 缺乏判断力之高斯消去法的电脑程式189

7.3 消去法的缺陷194

7.3.1 除以0194

7.3.2 舍位误差194

7.3.3 较差条件系统195

7.4 改进解的技巧200

7.4.1 使用更多的有效数字200

7.4.2 枢纽201

7.4.3 尺度化203

7.4.4 误差更正204

7.5 摘要207

习题209

8 高斯裘登，逆矩阵和高斯谢德法213

8.1 高斯裘登法213

8.1.1 高斯裘登法的电脑演算法215

8.2 反矩阵215

8.2.1 激励-响应计算219

8.2.2 反矩阵和较差条件220

8.2.3 反矩阵的电脑演算法220

8.3 高斯谢德法221

8.3.1 高斯谢德法的收敛准则224

8.3.2 使用松弛法改进收敛225

8.3.3 高斯谢德法的演算法226

8.3.4 高斯谢德法的问题内容226

习题228

9 线性方程式系统的实例学习231

实例学习9.1 资源的分配（一般工程）231

实例学习9.2 温度分布的计算（化学工程）234

实例学习9.3 静态横梁的结构分析（土木工程）237

实例学习9.4 电路上电阻的电流和电压（电机工程）240

实例学习9.5 质点和刚体的动力学（机械工程）242

结语244

习题244

Ⅲ.4 权衡得失249

Ⅲ.5 重要关系和公式250

Ⅲ.6 更深入的方法和参考资料250

第4部份 曲线密合253

Ⅳ.1 学习动机253

Ⅳ.1.1 电脑问世前所用的曲线密合方法254

Ⅳ.1.2 曲线密合和实际工程应用254

Ⅳ.2 数学背景255

Ⅳ.2.1 简单的统计255

Ⅳ.2.2 常态分布258

Ⅳ.3 指引方向259

Ⅳ.3.1 范围和预习259

Ⅳ.3.2 目标和目的261

10 最小平方回归法262

10.1 线性回归263

10.1.1 最好密合的准则263

10.1.2 直线的最小平方密合264

10.1.3 线性回归的误差量266

10.1.4 线性回归的程式269

10.1.5 线性回归的应用——非线性关系的线性化271

10.1.6 线性回归法之一般注解275

10.2 多项式回归法275

10.2.1 多项式回归法的演算法279

10.3 多线性回归法280

习题283

11 内差法286

11.1 牛顿分割-差分内挿多项式287

11.1.1 线性内揷法287

11.1.2 二次式内挿法289

11.1.3 牛顿内挿多项式的一般式291

11.1.4 牛顿内揷多项式的误差294

11.1.5 牛顿内挿多项式的程式296

11.2 拉格南奇内挿多项式299

11.3 额外的注解303

11.4 弧线内挿法306

11.4.1 线性的弧线308

11.4.2 二次弧线310

11.4.3 三次弧线313

11.4.4 三次弧线的电脑演算法317

习题317

12 曲线密合的实例学习319

实例学习12.1 工程产品的销售模式（一般工程）319

实例学习12.2 线性回归法和人口模式（化学工程）323

实例学习12.3 帆船竿的设计（土木工程）326

实例学习12.4 曲线密合于估计电流的均方根值（电机工程）329

实例学习12.5 分析实验数据的多线性回归法（机械工程）331

结语333

习题333

Ⅳ.4 权衡得失337

Ⅳ.5 重要关系和公式338

Ⅳ.6 更进一步的方法和额外的参考数据338

第5部份 积分341

Ⅴ.1 学习动机341

Ⅴ.1.1 电脑问世前所用的积分方法342

Ⅴ.1.2 数值积分和实际工程应用344

Ⅴ.2 数学背景346

Ⅴ.3 指引方向348

Ⅴ.3.1 范围和预习348

Ⅴ.3.2 目标和目的349

13 牛顿——柯特积分公式351

13.1 梯形法353

13.1.1 梯形法的误差355

13.1.2 多线段梯形法则358

13.1.3 多线段梯形法的电脑程式362

13.2 辛普森法则364

13.2.1 辛普森1/3法则365

13.2.2 多线段辛普森1/3法则368

13.2.3 辛普森3/8法则370

13.2.4 辛普森法则的电脑演算法373

13.2.5 高阶牛顿柯特封闭公式374

13.3 不等距线段的积分376

13.4 开积分公式381

习题381

14 农佰格积分和高斯矩形法385

14.1 农佰格积分385

14.1.1 理查德德森外揷法386

14.1.2 农佰格积分演算法390

14.2 高斯矩形法393

14.2.1 未决定系数的方法394

14.2.2 两点高斯雷建德公式推导396

14.2.3 高阶点公式399

14.2.4 高斯矩形的电脑程式400

14.2.5 高斯矩形的误差分析402

习题402

15 积分的实例学习404

实例学习15.1 现金使用分析（一般工程）404

实例学习15.2 使用积分决定材料的总热量（化学工程）407

实例学习15.3 竞赛帆船竿上的有效力（土木工程）408

实例学习15.4 利用数值积分决定电流的均方根值（电机工程）412

实例学习15.5 利用数值积分计算所作的功（机械工程）414

结语418

习题418

Ⅴ.4 权衡得失423

Ⅴ.5 重要关系和公式424

Ⅴ.6 更深入的方法和额外的参考数据424

第6部份 常微分方程式427

Ⅵ.1 学习动机427

Ⅵ.1.1 电脑问世前的解微分方程式的方法428

Ⅵ.1.2 常微分方程和实际工程应用430

Ⅵ.2 数学背景431

Ⅵ.3 指引方向433

Ⅵ.3.1 范围和预习433

Ⅵ.3.2 目标和目的435

16 单步法437

16.1 尤勒法438

16.1.1 尤勒法的误差分析440

16.1.2 尤勒法的电脑程式445

16.1.3 高阶泰勒级数方法447

16.2 尤勒法的修改和改进448

16.2.1 尤恩法448

16.2.2 改进多角法453

16.2.3 改进和修改尤勒法的电脑程式454

16.2.4 摘要455

16.3 阮奇-库达法455

16.3.1 二阶阮奇-库达法457

16.3.2 三阶阮奇-库逹法461

16.3.3 四阶阮奇-库达法463

16.3.4 高阶的阮奇-库达法464

16.3.5 阮奇-库达法的局部截尾误差466

16.3.6 阮奇-库达法的电脑演算方法467

16.4 方程式系统468

16.4.1 解微分方程式系统的电脑演算法469

16.4.2 边界值问题：射击法471

习题473

17 多步骤方法475

17.1 简单的多步近似：非自开始尤恩法475

17.1.1 预测-改正公式的推导和误差分析478

17.1.2 误差估计480

17.1.3 修改因子481

17.1.4 多步骤法的电脑程式484

17.1.5 间隔大小控制的讨论484

17.2 积分公式487

17.2.1 牛顿-柯特公式488

17.2.2 亚当公式490

17.3 高阶多步骤法492

17.3.1 迈恩法494

17.3.2 四阶亚当法495

17.3.3 多步骤法的稳定性496

习题498

18 常微分方程式实例学习500

实例学习18.1 电脑销售计划的数学模式（一般工程）500

实例学习18.2 药品生成的反应设计（化学工程）503

实例学习18.3 帆船竿的偏移（土木工程）507

实例学习18.4 电路的瞬时电流仿真（电机工程）509

实例学习18.5 单摆（机械工程）511

习题515

Ⅵ.4 衡量得失518

Ⅵ.5 重要关系和公式519

Ⅵ.6 更深入的方法和参考书籍519

参考书籍522

中英名词对照表525