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第1章 数值计算导论1

1.1 概述1

1.1.1 数值计算与数值算法1

1.1.2 数值计算的问题与策略2

1.1.3 数值计算软件4

1.2 误差分析基础6

1.2.1 数值计算的近似6

1.2.2 误差及其分类7

1.2.3 问题的敏感性与数据传递误差估算11

1.2.4 算法的稳定性14

1.3 计算机浮点数系统与舍入误差15

1.3.1 计算机浮点数系统16

1.3.2 舍入与机器精度18

1.3.3 浮点运算的舍入误差20

1.3.4 抵消现象21

1.4 保证数值计算的准确性22

1.4.1 减少舍入误差的几条建议22

1.4.2 影响结果准确性的主要因素25

评注26

算法背后的历史：浮点运算的先驱——威廉·卡亨27

练习题28

上机题29

第2章 非线性方程求根31

2.1 引言31

2.1.1 非线性方程的解31

2.1.2 问题的敏感性32

2.2 二分法32

2.2.1 方法原理32

2.2.2 算法稳定性和结果准确度34

2.3 不动点迭代法36

2.3.1 基本原理36

2.3.2 全局收敛的充分条件37

2.3.3 局部收敛性38

2.3.4 稳定性与收敛阶39

2.4 牛顿迭代法41

2.4.1 方法原理41

2.4.2 重根的情况43

2.4.3 判停准则44

2.4.4 牛顿法的问题44

2.5 割线法与抛物线法45

2.5.1 割线法45

2.5.2 抛物线法46

2.6 实用的方程求根技术47

2.6.1 阻尼牛顿法47

2.6.2 多项式方程求根48

2.6.3 通用求根算法zeroin48

应用实例：城市水管应埋于地下多深？51

2.7 非线性方程组和有关数值软件52

2.7.1 非线性方程组52

2.7.2 非线性方程求根的相关软件54

评述55

算法背后的历史：牛顿与牛顿法56

练习题57

上机题58

第3章 线性方程组的直接解法60

3.1 基本概念与问题的敏感性60

3.1.1 线性代数中的有关概念60

3.1.2 向量范数与矩阵范数63

3.1.3 问题的敏感性与矩阵条件数66

3.2 高斯消去法70

3.2.1 基本的高斯消去法70

3.2.2 高斯-若当消去法72

3.3 矩阵的LU分解76

3.3.1 高斯消去过程的矩阵形式76

3.3.2 矩阵的直接LU分解算法80

3.3.3 LU分解的用途83

3.4 选主元技术与算法稳定性84

3.4.1 为什么要选主元84

3.4.2 使用部分主元技术的LU分解86

3.4.3 其他选主元技术90

3.4.4 算法的稳定性91

3.5 对称正定矩阵与带状矩阵的解法92

3.5.1 对称正定矩阵的Cholesky分解92

3.5.2 带状线性方程组的解法96

应用实例：稳态电路的求解98

3.6 有关稀疏线性方程组的实用技术99

3.6.1 稀疏矩阵基本概念100

3.6.2 MATLAB中的相关功能102

3.7 有关数值软件105

评述107

算法背后的历史：威尔金森与数值分析108

练习题109

上机题111

第4章 线性方程组的迭代解法113

4.1 迭代解法的基本理论113

4.1.1 基本概念113

4.1.2 1阶定常迭代法的收敛性114

4.1.3 收敛阶与收敛速度117

4.2 经典迭代法119

4.2.1 雅可比迭代法119

4.2.2 高斯-赛德尔迭代法120

4.2.3 逐次超松弛迭代法122

4.2.4 三种迭代法的收敛条件124

应用实例：桁架结构的应力分析127

4.3 共轭梯度法129

4.3.1 最速下降法129

4.3.2 共轭梯度法132

4.4 各种方法的比较135

4.4.1 迭代法之间的比较136

4.4.2 直接法与迭代法的对比139

4.5 有关数值软件140

评述141

算法背后的历史：雅可比142

练习题143

上机题145

第5章 矩阵特征值计算147

5.1 基本概念与特征值分布147

5.1.1 基本概念与性质147

5.1.2 特征值分布范围的估计151

5.2 幂法与反幂法153

5.2.1 幂法153

5.2.2 加速收敛的方法157

5.2.3 反幂法159

应用实例：Google的PageRank算法161

5.3 矩阵的正交三角化163

5.3.1 Householder变换164

5.3.2 Givens旋转变换166

5.3.3 矩阵的QR分解167

5.4 所有特征值的计算与QR算法171

5.4.1 收缩技术171

5.4.2 基本QR算法172

5.4.3 实用QR算法的有关技术174

5.5 有关数值软件178

评述179

算法背后的历史：A．Householder与矩阵分解180

练习题181

上机题184

第6章 函数逼近与函数插值186

6.1 函数逼近的基本概念186

6.1.1 函数空间186

6.1.2 函数逼近的不同类型189

6.2 连续函数的最佳平方逼近191

6.2.1 一般的法方程方法191

6.2.2 用正交函数族进行逼近195

6.3 曲线拟合的最小二乘法198

6.3.1 问题的矩阵形式与法方程法199

6.3.2 用正交化方法求解最小二乘问题203

应用实例：原子弹爆炸的能量估计206

6.4 函数插值与拉格朗日插值法208

6.4.1 插值的基本概念208

6.4.2 拉格朗日插值法209

6.4.3 多项式插值的误差估计212

6.5 牛顿插值法214

6.5.1 基本思想214

6.5.2 差商与牛顿插值公式215

6.6 分段多项式插值220

6.6.1 高次多项式插值的病态性质220

6.6.2 分段线性插值221

6.6.3 分段埃尔米特插值222

6.6.4 保形分段插值225

6.7 样条插值函数226

6.7.1 三次样条插值227

6.7.2 三次样条插值函数的构造228

6.7.3 B-样条函数231

评述232

算法背后的历史：拉格朗日与插值法234

练习题235

上机题237

第7章 数值积分与数值微分239

7.1 数值积分概论239

7.1.1 基本思想239

7.1.2 求积公式的积分余项与代数精度241

7.1.3 求积公式的收敛性与稳定性242

7.2 牛顿-柯特斯公式243

7.2.1 柯特斯系数与几个低阶公式243

7.2.2 牛顿-柯特斯公式的代数精度245

7.2.3 几个低阶公式的余项246

7.3 复合求积公式247

7.3.1 复合梯形公式247

7.3.2 复合辛普森公式248

7.3.3 步长折半的复合求积公式计算250

7.4 Remberg积分算法251

7.4.1 复合梯形公式的余项展开式251

7.4.2 理查森外推法252

7.4.3 Romberg算法253

7.5 自适应积分算法255

7.5.1 自适应积分的原理256

7.5.2 一个具体的自适应积分算法256

7.6 高斯求积公式259

7.6.1 一般理论259

7.6.2 高斯-勒让德积分公式及其他262

应用实例：探月卫星轨道长度计算264

7.7 数值微分265

7.7.1 基本的有限差分公式266

7.7.2 插值型求导公式267

7.7.3 数值微分的外推算法269

评述270

算法背后的历史：“数学王子”高斯272

练习题273

上机题274

第8章 常微分方程初值问题的解法276

8.1 引言276

8.1.1 问题分类与可解性276

8.1.2 问题的敏感性277

8.2 简单的数值解法与有关概念279

8.2.1 欧拉法279

8.2.2 数值解法的稳定性与准确度281

8.2.3 向后欧拉法与梯形法283

8.3 龙格-库塔方法285

8.3.1 基本思想285

8.3.2 几种显式R-K公式286

8.3.3 显式R-K公式的稳定性与收敛性290

8.3.4 自动变步长的R-K方法291

8.4 多步法293

8.4.1 多步法公式的推导293

8.4.2 Adams公式296

8.4.3 更多讨论299

8.5 常微分方程组与实用技术300

8.5.1 1阶常微分方程组300

8.5.2 MATLAB中的实用ODE求解器303

应用实例：洛伦兹吸引子306

评述308

算法背后的历史：“数学家之英雄”欧拉309

练习题311

上机题313

附录A 有关数学记号的说明314

附录B MATLAB简介316

附录C 部分习题答案336

索引339

参考文献345