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第8章 向量代数与空间解析几何1

8.1　向量及其线性运算1

8.1.1　向量的概念1

8.1.2　向量的线性运算2

8.1.3　空间直角坐标系4

8.1.4　向量的坐标及向量的运算6

8.1.5　向量的模、方向余弦、投影8

习题8.112

8.2　数量积　向量积　混合积13

8.2.1　两向量的数量积13

8.2.2　两向量的向量积15

8.2.3　向量的混合积17

习题8.219

8.3　平面及其方程19

8.3.1　平面的点法式方程20

8.3.2　平面的一般式方程21

8.3.3　平面的截距式方程22

8.3.4　两平面的夹角23

习题8.325

8.4　空间直线及其方程25

8.4.1　空间直线的一般式方程25

8.4.2　空间直线的对称式方程和参数方程26

8.4.3　两直线的夹角27

8.4.4　直线与平面的夹角28

习题8.431

8.5　曲面及其方程32

8.5.1　曲面方程的概念32

8.5.2　旋转曲面33

8.5.3　柱面35

习题8.536

8.6　空间曲线及其方程37

8.6.1　空间曲线的一般式方程37

8.6.2　空间曲线的参数方程38

8.6.3　空间曲线在坐标面上的投影39

习题8.641

8.7　二次曲面41

8.7.1 椭球面42

8.7.2　双曲面43

8.7.3　椭圆锥面44

8.7.4　抛物面45

习题8.746

总习题847

第9章 多元函数微分法及其应用49

9.1　多元函数的基本概念49

9.1.1　平面点集 n维空间49

9.1.2　多元函数的概念51

9.1.3　多元函数的极限53

9.1.4　多元函数的连续性54

习题9.156

9.2　偏导数57

9.2.1　偏导数及其计算法57

9.2.2　高阶偏导数60

习题9.262

9.3　全微分63

9.3.1　全微分的定义64

9.3.2　全微分在近似计算中的应用67

习题9.368

9.4　多元复合函数的求导法则69

9.4.1 多元复合函数的求导法则69

9.4.2　全微分的形式不变性74

习题9.475

9.5　隐函数的求导公式76

9.5.1 由一个方程所确定的隐函数的求导公式76

9.5.2 由方程组所确定的隐函数的求导公式79

习题9.583

9.6　微分法在几何上的应用84

9.6.1　空间曲线的切线与法平面84

9.6.2　曲面的切平面与法线88

习题9.691

9.7　方向导数与梯度92

9.7.1　方向导数92

9.7.2　梯度95

9.7.3　向量场简介98

习题9.799

9.8　多元函数的极值及其求法100

9.8.1　多元函数的极值100

9.8.2　函数的最大值和最小值103

9.8.3　条件极值拉格朗日乘数法104

9.8.4　最小二乘法107

习题9.8109

9.9 二元函数的泰勒公式和极值充分条件的证明110

9.9.1　二元函数的泰勒公式110

9.9.2　极值充分条件的证明114

习题9.9115

总习题9115

第10章　重积分118

10.1　二重积分的概念和性质118

10.1.1　实例分析118

10.1.2　二重积分的概念119

10.1.3　二重积分的性质120

习题10.1122

10.2　二重积分的计算法123

10.2.1　利用直角坐标计算二重积分123

10.2.2　利用极坐标计算二重积分131

10.2.3　二重积分的换元法135

习题10.2138

10.3　三重积分141

10.3.1　三重积分的概念141

10.3.2　三重积分的计算142

习题10.3151

10.4　重积分的应用153

10.4.1　立体的体积153

10.4.2　曲面的面积154

10.4.3　质心156

10.4.4　转动惯量158

10.4.5 引力159

习题10.4161

总习题10162

第11章 曲线积分与曲面积分166

11.1　对弧长的曲线积分166

11.1.1 曲线形构件的质量166

11.1.2　对弧长的曲线积分的概念与性质167

11.1.3　对弧长的曲线积分的计算168

习题11.1171

11.2　对坐标的曲线积分172

11.2.1　变力沿曲线所做的功172

11.2.2　对坐标的曲线积分的概念与性质173

11.2.3　对坐标的曲线积分的计算175

11.2.4　两类曲线积分之间的联系179

习题11.2180

11.3　格林公式及其应用182

11.3.1　格林公式182

11.3.2　平面上曲线积分与路径无关的条件186

11.3.3　全微分方程190

习题11.3191

11.4　对面积的曲面积分193

11.4.1 曲面型构件的质量193

11.4.2　对面积的曲面积分的概念与性质193

11.4.3　对面积的曲面积分的计算194

习题11.4197

11.5　对坐标的曲面积分197

11.5.1　有向曲面197

11.5.2　流向曲面一侧的流量198

11.5.3　对坐标的曲面积分的概念与性质199

11.5.4　两类曲面积分之间的联系200

11.5.5　对坐标曲面积分的计算201

习题11.5205

11.6　高斯公式通量与散度206

11.6.1　高斯公式206

11.6.2　通量与散度210

11.6.3　曲面积分与曲面无关的条件212

习题11.6213

11.7　斯托克斯公式　环流量与旋度214

11.7.1　斯托克斯公式214

11.7.2　环流量与旋度218

11.7.3　空间曲线积分与路径无关的条件220

习题11.7221

总习题11221

第12章　无穷级数225

12.1　常数项级数的概念与性质225

12.1.1　常数项级数的概念225

12.1.2　常数项级数的基本性质228

12.1.3　柯西审敛原理231

习题12.1232

12.2　常数项级数的审敛法233

12.2.1　正项级数及其审敛法233

12.2.2　交错级数及其审敛法240

12.2.3　绝对收敛与条件收敛242

习题12.2244

12.3　幂级数246

12.3.1 函数项级数的一般概念246

12.3.2　幂级数及其收敛域247

12.3.3　幂级数的运算与性质251

习题12.3255

12.4　函数展开成幂级数255

12.4.1　泰勒级数256

12.4.2 函数展开成幂级数的方法258

习题12.4264

12.5 函数幂级数展开式的应用264

习题12.5267

12.6　傅里叶级数268

12.6.1　三角级数、三角函数系的正交性268

12.6.2 函数展开成傅里叶级数269

12.6.3　正弦级数和余弦级数273

习题12.6276

12.7　一般周期函数的傅里叶级数277

习题12.7280

总习题12281

部分习题答案与提示284

参考文献307