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第一篇　微积分1

第一章 函数　极限　连续1

1 函数1

Ⅰ　考点精讲1

一、定义1

二、重要性质、定理、公式4

Ⅱ　例题精讲4

一、求分段函数的复合函数4

二、由函数的奇、偶性与周期性构造函数6

三、求反函数的表达式7

四、关于函数有界（无界）的讨论7

2 极限9

Ⅰ　考点精讲9

一、定义9

二、重要性质、定理、公式10

三、计算极限的一些有关方法11

Ⅱ　例题精讲14

一、求函数的极限14

二、已知极限值求其中的某些参数，或已知极限求另一与此有关的某极限20

三、含有｜x｜,e 1/x的x→0时的极限，含有取整函数［x］的x趋于整数时的极限22

四、无穷小的比较22

五、求以极限定义的函数的表达式23

六、极限运算定理的正确运用25

3 函数的连续与间断28

Ⅰ　考点精讲28

一、定义28

二、重要性质、定理、公式29

Ⅱ　例题精讲29

一、讨论初等函数或抽象函数的连续与间断29

二、在连续条件下求参数31

三、连续函数的零点问题32

模考题训练33

模考题训练答案与提示35

第二章　一元函数微分学36

1 导数与微分，导数的计算36

Ⅰ　考点精讲36

一、定义36

二、重要性质、定理、公式37

Ⅱ　例题精讲40

一、按定义求一点处的导数40

二、已知f（x）在某点x=x0处可导，求与此有关的某极限或其中某参数，或已知某极限求f（x）在x=x0处的导数42

三、绝对值函数的导数45

四、由极限式表示的函数的可导性47

五、导数与微分、增量的关系47

六、求导数的计算题48

2　导数的应用50

Ⅰ　考点精讲50

一、定义50

二、重要性质、定理、公式与方法51

Ⅱ　例题精讲53

一、增减性、极值、凹凸性、拐点的讨论53

二、渐近线56

三、最大值、最小值问题57

3 中值定理、不等式与零点问题58

Ⅰ　考点精讲58

一、重要定理58

二、重要方法60

Ⅱ　例题精讲61

一、不等式的证明61

二、f（x）的零点与f′（x）的零点问题65

三、复合函数ψ（x,f（x）,f′（x））的零点68

四、复合函数ψ（x,f（x）,f′（x）,f″（x））的零点69

五、“双中值”问题69

六、零点的个数问题70

七、证明存在某ξ满足某不等式71

八、lim x→x0 f′（x）与f′（x0）的关系72

九、f′（x）与f（x）的一些极限性质的关系73

模考题训练74

模考题训练答案与提示77

第三章　一元函数积分学79

1 不定积分与定积分的概念、性质、理论79

Ⅰ　考点精讲79

一、定义79

二、重要性质、定理、公式80

Ⅱ　例题精讲82

一、分段函数的不定积分与定积分82

二、定积分与原函数的存在性85

三、奇、偶函数、周期函数的原函数及变限积分86

2 不定积分与定积分的计算89

Ⅰ　考点精讲89

一、基本积分公式89

二、基本积分方法90

Ⅱ　例题精讲92

一、简单有理分式的积分92

二、三角函数的有理分式的积分94

三、简单无理式的积分94

四、两种不同类型的函数相乘的积分96

五、被积函数中含有导数或变限函数的积分98

六、对称区间上的定积分，周期函数的定积分99

七、含参变量带绝对值号的定积分101

3　反常积分及其计算102

Ⅰ　考点精讲102

一、定义102

二、重要性质、定理、公式103

Ⅱ　例题精讲105

一、反常积分的计算105

二、关于奇、偶函数的反常积分106

三、关于反常积分敛散性的判定108

4　一元微积分在经济中的应用，定积分在几何上的应用109

Ⅰ　考点精讲109

一、定义109

二、重要性质、定理、公式与方法111

Ⅱ　例题精讲113

一、几何应用113

二、经济上的应用115

5 定积分的证明题119

Ⅰ　考点精讲119

Ⅱ　例题精讲119

一、讨论变限积分所定义的函数的奇、偶性，周期性，极值，单调性等119

二、由积分定义的函数求极限121

三、积分不等式的证明122

四、零点问题126

模考题训练127

模考题训练答案与提示131

第四章 多元函数微积分学133

1 多元函数的极限、连续、偏导数与全微分133

Ⅰ　考点精讲133

一、定义133

二、重要性质、定理、公式136

Ⅱ　例题精讲137

一、讨论二重极限137

二、讨论偏导数存在性，函数的连续性138

三、讨论函数的可微性139

四、求初等函数的偏导数140

五、外层为抽象函数时的复合函数求偏导数（重点）140

六、求隐函数的偏导数143

七、求全微分或利用全微分求一阶（偏）导数145

2　极值与最值146

Ⅰ　考点精讲146

一、定义146

二、重要性质、定理、公式147

Ⅱ　例题精讲148

一、关于抽象函数的极值问题148

二、极值与最值的计算题149

三、最值的应用问题151

3　二重积分151

Ⅰ　考点精讲151

一、定义151

二、重要性质、定理、公式152

Ⅱ　例题精讲153

一、二重积分在直角坐标中的计算153

二、直角坐标系中交换积分次序（重点内容）154

三、极坐标系中二重积分的计算与极直互化155

四、具有某种对称性的二重积分的计算（重点）157

五、关于轮换对称的二重积分159

六、关于分块函数（具有绝对值号的函数，具有最值号的函数，具有取整值的函数）的二重积分的计算160

七、二重积分的证明题（二重积分化为定积分的证明题，二重积分（二次积分）不等式的证明）163

模考题训练165

模考题训练答案与提示168

第五章　无穷级数169

1　数项级数169

Ⅰ　考点精讲169

一、定义169

二、重要性质、定理与公式170

Ⅱ　例题精讲173

一、正项级数敛散性的判别173

二、交错级数或任意项级数的敛散性的判别，条件收敛与绝对收敛177

三、敛散性判别法的选择题178

2　幂级数183

Ⅰ　考点精讲183

一、定义183

二、重要性质、定理与公式185

Ⅱ　例题精讲189

一、关于幂级数的收敛半径、收敛区间与收敛域的题189

二、函数展开成幂级数192

三、简单幂级数∞∑n=0 anxn求和195

四、幂级数与微分方程有关的题197

模考题训练200

模考题训练答案与提示202

第六章　微分方程，差分及一阶差分方程204

1　微分方程的概念，三种一阶方程的解法204

Ⅰ　考点精讲204

一、定义204

二、三种特殊类型的一阶微分方程及其解法205

Ⅱ　例题精讲206

一、识别类型，对号入座，按类型求解（基本题）206

二、积分方程化为微分方程求解208

三、偏微分方程化为常微分方程求解211

四、某些很特殊的函数方程化成微分方程求解212

2　二阶线性微分方程213

Ⅰ　考点精讲213

一、定义213

二、重要性质、定理、公式213

Ⅱ　例题精讲215

一、识别类型，对号入座，按类型求解215

二、自由项为分段函数或含有绝对值号的非齐次线性微分方程求解218

三、写出常系数线性非齐次方程的特解形式218

四、已知方程的解求方程219

五、一般二阶线性非齐次微分方程的解与对应齐次方程的解的关系220

3　微分方程的应用221

Ⅰ　考点精讲221

一、几何问题221

二、微元法建立微分方程223

三、微分方程在经济方面的应用224

4　差分及一阶差分方程225

Ⅰ　考点精讲225

一、定义225

二、重要性质、定理、公式225

Ⅱ　例题精讲227

一、差分的计算227

二、求一阶差分方程的解227

三、差分方程在经济上的应用228

模考题训练229

模考题训练答案与提示231

第二篇　线性代数233

第一章　行列式233

1　n阶行列式的定义233

Ⅰ　考点精讲233

一、定义233

Ⅱ　例题精讲234

2　行列式的性质、展开定理及n阶行列式的计算236

Ⅰ　考点精讲236

一、定义236

二、重要定理236

三、行列式的性质236

四、本章与后续章节有关的重要公式与结论237

Ⅱ　例题精讲238

一、低阶行列式的计算238

二、行列式计算技巧介绍240

三、行列式表示的函数、方程246

四、关于余子式和代数余子式248

五、抽象矩阵的行列式249

六、行列式的证明题250

3 克莱姆法则251

Ⅰ　考点精讲251

Ⅱ　例题精讲251

模考题训练253

模考题训练答案与提示255

第二章　矩 阵256

1 矩阵的概念及基本运算256

Ⅰ　考点精讲256

一、定义256

二、矩阵的运算规则257

三、特殊矩阵258

Ⅱ　例题精讲258

一、方阵的幂258

二、矩阵乘法的可交换性262

三、对称阵和反对称阵263

2 矩阵的逆265

Ⅰ　考点精讲265

一、定义265

二、重要定理265

三、运算性质266

四、求逆矩阵的方法266

Ⅱ　例题精讲267

一、证明A可逆及求A-1的方法267

二、伴随矩阵271

三、矩阵方程273

3 初等变换与初等矩阵276

Ⅰ　考点精讲276

一、定义276

二、初等矩阵与初等变换的性质276

Ⅱ　例题精讲277

一、初等变换、初等矩阵277

二、矩阵的秩和等价矩阵279

4　分块矩阵281

Ⅰ　考点精讲281

一、定义281

二、分块矩阵的运算281

Ⅱ　例题精讲283

一、分块矩阵的乘积283

二、分块矩阵的逆285

三、分块矩阵的行列式286

模考题训练286

模考题训练答案与提示288

第三章　向量290

1 向量组的线性相关性290

Ⅰ　考点精讲290

一、定义290

二、重要定理291

三、向量的基本运算292

Ⅱ　例题精讲292

一、线性相关性的判别292

二、向量的线性表示295

三、向量组线性无关的证明296

2　秩299

Ⅰ　考点精讲299

一、定义299

二、重要定理299

三、有关秩的等式和不等式301

Ⅱ　例题精讲301

3 向量的内积与向量组的正交规范化方法305

Ⅰ　考点精讲305

一、定义305

二、运算性质306

三、施密特（Schmidt）标准正交化方法306

Ⅱ　例题精讲307

模考题训练309

模考题训练答案与提示310

第四章　线性方程组312

1 齐次线性方程组312

Ⅰ　考点精讲312

一、定义312

二、重要定理313

三、基础解系和通解的求法313

Ⅱ　例题精讲314

一、线性方程组的求解314

二、方程组解向量的判别，解的性质319

三、基础解系320

四、AX=0的系数行向量和解向量的关系，由AX=0的基础解系反求A321

2　非齐次线性方程组323

Ⅰ　考点精讲323

一、定义323

二、重要定理323

三、非齐次线性方程组AX=b通解的求法324

Ⅱ　例题精讲324

一、非齐次线性方程组的求解324

二、非齐次线性方程组解的判别327

三、非齐次线性方程组有解的条件327

四、AX=b的通解结构328

五、非齐次线性方程组系数列向量与解向量的关系330

六、两个方程组的公共解332

七、同解方程组334

模考题训练337

模考题训练答案与提示339

第五章　特征值、特征向量、相似矩阵341

1　特征值、特征向量341

Ⅰ　考点精讲341

一、定义341

二、特征值的性质341

三、求特征值、特征向量的方法342

Ⅱ　例题精讲342

2　相似矩阵、矩阵的相似对角化350

Ⅰ　考点精讲350

一、定义350

二、重要定理350

三、相似矩阵的性质及相似矩阵的必要条件351

Ⅱ　例题精讲351

3 实对称矩阵的相似对角化357

Ⅰ　考点精讲357

一、定义357

二、重要定理357

三、实对称矩阵正交相似于对角阵的步骤357

Ⅱ　例题精讲358

模考题训练366

模考题训练答案与提示368

第六章　二次型370

1 二次型的定义、矩阵表示，合同矩阵370

Ⅰ　考点精讲370

一、定义370

二、二次型的矩阵表示371

Ⅱ　例题精讲372

2　化二次型为标准形、规范形、合同二次型374

Ⅰ　考点精讲374

一、定义374

二、重要定理374

三、二次型化标准形、规范形的方法375

Ⅱ　例题精讲375

3　正定二次型、正定矩阵385

Ⅰ　考点精讲385

一、定义385

二、重要定理385

Ⅱ　例题精讲386

模考题训练395

模考题训练答案与提示397

第三篇　概率统计398

第一章　随机事件和概率398

1 事件、样本空间、事件间的关系与运算398

Ⅰ　考点精讲398

一、定义398

二、事件间运算规律401

Ⅱ　例题精讲401

2　概率、条件概率、独立性和五大公式402

Ⅰ　考点精讲402

一、定义402

二、重要性质、定理、公式403

Ⅱ　例题精讲405

3 古典型概率与伯努利概率410

Ⅰ　考点精讲410

一、定义410

二、概率计算411

Ⅱ　例题精讲411

模考题训练413

模考题训练答案与提示415

第二章 随机变量及其概率分布417

1 随机变量及其分布函数417

Ⅰ　考点精讲417

一、定义417

二、分布函数性质417

Ⅱ　例题精讲418

2 离散型随机变量和连续型随机变量419

Ⅰ　考点精讲419

一、定义419

二、分布律和概率密度的性质419

Ⅱ　例题精讲421

3　常用分布422

Ⅰ　考点精讲422

一、定义422

二、重要性质425

Ⅱ　例题精讲425

4 随机变量函数的分布427

Ⅰ　考点精讲427

一、离散型随机变量的函数分布427

二、连续型随机变量的函数分布427

Ⅱ　例题精讲428

模考题训练429

模考题训练答案与提示431

第三章 多维随机变量及其分布433

1 二维随机变量及其分布433

Ⅰ　考点精讲433

一、定义433

二、重要性质437

Ⅱ　例题精讲438

2　随机变量的独立性440

Ⅰ　考点精讲440

一、定义（随机变量的独立性）440

二、充要条件441

Ⅱ　例题精讲443

3 二维均匀分布和二维正态分布445

Ⅰ　考点精讲445

一、定义445

二、重要性质447

Ⅱ　例题精讲447

4 两个随机变量函数的分布448

Ⅰ　考点精讲448

一、二维离散型随机变量函数的概率分布的求法与一维离散型类似448

二、二维连续型随机变量函数Z=g（X,Y）的分布的求法，可用公式448

三、重要性质449

Ⅱ　例题精讲450

模考题训练451

模考题训练答案与提示453

第四章 随机变量的数字特征455

1 随机变量的数学期望和方差455

Ⅰ　考点精讲455

一、定义455

二、重要性质，公式456

Ⅱ　例题精讲461

2 矩、协方差和相关系数465

Ⅰ　考点精讲465

一、定义465

二、重要性质、公式466

Ⅱ　例题精讲467

3　切比雪夫不等式470

Ⅰ　考点精讲470

Ⅱ　例题精讲470

模考题训练470

模考题训练答案与提示473

第五章　大数定律和中心极限定理475

Ⅰ　考点精讲475

一、依概率收敛475

二、切比雪夫大数定律475

三、伯努利大数定律475

四、辛钦大数定律475

五、棣莫弗——拉普拉斯定理476

六、列维——林德伯格定理476

Ⅱ　例题精讲476

模考题训练478

模考题训练答案与提示479

第六章　数理统计的基本概念480

1 总体、样本、统计量和样本数字特征480

Ⅰ　考点精讲480

一、定义480

二、样本数字特征性质482

Ⅱ　例题精讲482

2 常用统计抽样分布和正态总体的抽样分布483

Ⅰ　考点精讲483

一、定义483

二、重要性质484

三、一个正态总体的抽样分布485

四、两个正态总体的抽样分布486

Ⅱ　例题精讲486

模考题训练489

模考题训练答案与提示491

第七章　参数估计492

1 点估计492

Ⅰ　考点精讲492

Ⅱ　例题精讲493

2　估计量的求法494

Ⅰ　考点精讲494

一、矩估计法494

二、矩估计法步骤494

三、最大似然估计法495

四、似然方程495

Ⅱ　例题精讲496

模考题训练498

模考题训练答案与提示499