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第1章 准备知识1

1.1 集合1

1.1.1 集合的基本概念1

1.1.2 集合的基本运算和性质2

1.1.3 集合的笛卡儿积5

1.1.4 集合的计算机表示5

1.2 整数6

1.2.1 整除6

1.2.2 最大公约数和最小公倍数8

1.2.3 模运算11

1.3 序列和递推关系12

1.3.1 序列12

1.3.2 序列求和13

1.3.3 递推关系13

1.4 矩阵15

1.4.1 矩阵的概念15

1.4.2 矩阵的运算16

1.4.3 布尔矩阵19

习题120

第2章 数理逻辑24

2.1 命题及联结词24

2.1.1 命题的概念24

2.1.2 命题联结词26

2.2 命题公式和分类29

2.2.1 命题变元和命题公式29

2.2.2 命题公式的赋值和真值表30

2.2.3 命题公式的类型32

2.3 等值演算与范式33

2.3.1 等价和基本等价式33

2.3.2 等值演算35

2.3.3 范式37

2.4 命题逻辑的推理理论43

2.4.1 推理的形式结构43

2.4.2 演绎法证明推理45

2.5 谓词逻辑基础48

2.5.1 谓词逻辑的基本概念48

2.5.2 谓词公式及其解释51

2.6 谓词逻辑等值式与范式56

2.6.1 谓词逻辑等值式56

2.6.2 前束范式58

2.7 谓词逻辑的推理理论59

2.7.1 有关量词的基本蕴涵式59

2.7.2 有关量词的推理规则60

习题263

第3章 计数70

3.1 基本计数、排列与组合70

3.1.1 基本的计数原则70

3.1.2 排列与组合71

3.2 排列组合的进一步讨论74

3.2.1 圆周排列74

3.2.2 有重复的排列74

3.2.3 有重复的组合76

3.3 生成排列和组合78

3.3.1 生成排列78

3.3.2 生成组合80

3.4 生成函数及其应用81

3.4.1 生成函数的定义81

3.4.2 生成函数求解计数问题82

3.4.3 使用生成函数求解递推关系84

3.5 鸽巢原理86

3.5.1 一般的鸽巢原理86

3.5.2 推广的鸽巢原理87

3.6 容斥原理88

3.6.1 容斥原理简介88

3.6.2 容斥原理的应用91

习题393

第4章 关系96

4.1 关系定义及其表示96

4.1.1 关系的基本概念96

4.1.2 二元关系的表示97

4.2 关系的运算98

4.2.1 关系的合成98

4.2.2 逆运算100

4.3 关系的性质101

4.3.1 自反性与反自反性101

4.3.2 对称性与反对称性102

4.3.3 传递关系103

4.4 n元关系及其应用105

4.5 关系的闭包108

4.5.1 闭包的概念和求法108

4.5.2 Warshall算法111

4.6 等价关系112

4.6.1 等价关系与等价类112

4.6.2 等价关系与划分114

4.7 偏序关系115

4.7.1 偏序关系和哈斯图115

4.7.2 极值和最值116

4.7.3 拓扑排序117

4.8 函数119

4.8.1 函数的定义119

4.8.2 函数的类型120

4.8.3 函数的运算122

习题4124

第5章 布尔代数129

5.1 布尔函数129

5.1.1 布尔函数和布尔表达式129

5.1.2 布尔代数中的恒等式131

5.2 布尔函数的表示133

5.2.1 布尔函数的主析取范式133

5.2.2 函数完备性134

5.3 布尔代数的应用135

5.3.1 门电路135

5.3.2 卡诺图136

习题5138

第6章 图140

6.1 图的基本概念140

6.1.1 无向图和有向图140

6.1.2 握手定理144

6.1.3 图的同构145

6.2 图的连通性147

6.2.1 通路和回路147

6.2.2 无向图的连通性149

6.2.3 有向图的连通性150

6.3 图的矩阵表示150

6.3.1 关联矩阵151

6.3.2 邻接矩阵152

6.3.3 有向图的可达矩阵154

6.4 一些特殊的图155

6.4.1 二部图155

6.4.2 欧拉图156

6.4.3 哈密尔顿图158

6.5 带权图的最短路径161

6.5.1 Dijkstra算法161

6.5.2 Floyd算法163

6.5.3 旅行商问题165

6.6 平面图166

6.6.1 平面图的定义166

6.6.2 欧拉公式167

6.6.3 库拉图斯基定理168

习题6170

第7章 树173

7.1 无向树173

7.1.1 无向树的定义173

7.1.2 无向树的应用例子174

7.2 生成树175

7.2.1 生成树的定义175

7.2.2 求最小生成树的算法176

7.3 根树及应用178

7.3.1 根树的定义及应用178

7.3.2 最优二叉树和Huffman编码180

7.3.3 二叉树的遍历183

习题7185

第8章 离散数学实验187

8.1 实验一 准备知识187

8.1.1 集合定义187

8.1.2 子集188

8.1.3 A—B188

8.1.4 集合相等189

8.1.5 笛卡儿积189

8.1.6 最大公约数与最小公倍数190

8.1.7 余数191

8.1.8 Fibonacci数列191

8.1.9 汉诺塔192

8.1.10 汉诺塔Ⅲ192

8.1.11 序列和193

8.1.12 有效编码193

8.1.13 矩阵的和194

8.1.14 矩阵的布尔积194

8.2 实验二 数理逻辑195

8.2.1 命题联结词195

8.2.2 成真解释195

8.2.3 公式类型196

8.2.4 主析取范式196

8.2.5 主合取范式196

8.2.6 派谁去进修的问题197

8.2.7 推理1197

8.2.8 推理2198

8.2.9 公式的真值1198

8.2.10 公式的真值2199

8.3 实验三 计数200

8.3.1 密码200

8.3.2 圆周排列1201

8.3.3 圆周排列2201

8.3.4 有重复的组合201

8.3.5 生成排列202

8.3.6 生成组合202

8.3.7 上班问题203

8.3.8 解方程1203

8.3.9 解方程2204

8.3.10 工作组204

8.4 实验四 关系205

8.4.1 关系矩阵205

8.4.2 关系的合成1205

8.4.3 关系的合成2206

8.4.4 关系的运算206

8.4.5 自反性207

8.4.6 对称性208

8.4.7 对称闭包208

8.4.8 传递闭包209

8.4.9 同余210

8.4.10 等价类210

8.4.11 等价关系211

8.4.12 哈斯图212

8.4.13 极值213

8.4.14 最值213

8.4.15 拓扑排序214

8.5 实验五图215

8.5.1 简单图1215

8.5.2 简单图2215

8.5.3 度数列1216

8.5.4 度数列2217

8.5.5 连通图217

8.5.6 单向连通218

8.5.7 强连通218

8.5.8 二分图219

8.5.9 欧拉图220

8.5.10 半欧拉图220

8.5.11 欧拉回路221

8.5.12 欧拉路221

8.5.13 单源正权最短路径222

8.5.14 最短路径223

8.5.15 平面图1223

8.5.16 平面图2224

8.6 实验六树224

8.6.1 无向树224

8.6.2 最小生成树225

8.6.3 根树226

8.6.4 Huffman编码226

参考文献228