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第八章 多元函数微分法及其应用1

1 多元函数的极限1

一、多元函数的概念1

二、二元函数的几何意义2

三、点函数的极限3

四、多元函数的连续性6

习题8．18

2 偏导数9

一、偏导数概念9

二、二元函数偏导数的几何意义12

习题8．213

3 全微分及其应用13

一、全微分概念13

二、全微分在近似计算中的应用17

习题8．319

4 方向导数20

习题8．422

5 复合函数的微分法32

一、连锁规则22

二、一阶全微分形式的不变性28

习题8．529

6 隐函数微分法30

一、由方程确定的隐函数30

二、由方程组确定的隐函数32

习题8．636

7 高阶偏导数37

习题8．742

8 偏导数的几何应用43

一、空间曲线的切线与法平面43

二、曲面的切平面与法线47

习题8．850

9 多元函数的极值1

一、极值51

二、最大值与最小值52

三、条件极值53

习题8．957

10 最小二乘法简介58

11 二元函数的泰勒公式60

补充题63

阅读材料八 二重极限和二次极限63

第九章 重积分66

1 二重积分的概念与性质66

一、二重积分的概念66

二、二重积分的基本性质68

习题9．170

2 二重积分的计算方法71

一、用直角坐标计算71

二、用极坐标计算79

三、二重积分的换元公式84

习题9．285

3 三重积分87

一、三重积分的概念和计算87

二、用柱面坐标计算三重积分90

三、用球面坐标计算三重积分92

习题9．396

4 重积分的应用98

一、曲面的面积98

二、物体的重心101

三、转动惯量104

习题9．4105

5 含参变量的积分106

习题9．5112

补充题113

第十章 曲线积分与曲面积分115

1 对弧长的曲线积分115

一、对弧长的曲线积分的概念115

二、对弧长的曲线积分的基本性质117

三、对弧长的曲线积分的计算法118

习题10．1121

2 对坐标的曲线积分122

一、对坐标的曲线积分的概念122

二、对坐标的曲线积分的基本性质125

三、对坐标的曲线积分的计算法126

四、第一、二类曲线积分之间的关系130

习题10．2131

3 曲线积分与路径无关的条件132

一、格林公式132

二、曲线积分与路径无关的条件135

三、二元函数的全微分求积139

习题10．3143

4 对面积的曲面积分144

一、对面积的曲面积分的概念145

二、对面积的曲面积分的基本性质146

三、对面积的曲面积分的计算法147

习题10．4150

5 对坐标的曲面积分150

一、对坐标的曲面积分的概念150

二、对坐标的曲面积分的基本性质154

三、两类曲面积分的关系155

四、对坐标的曲面积分的计算法156

习题10．5158

6 曲线积分、曲面积分与重积分的关系158

一、斯托克斯公式158

二、空间曲线积分与路径无关的条件162

三、奥-高公式163

习题10．6167

补充题168

第十一章 数项级数169

1 数项级数的概念169

习题11．1172

2 级数的一般性质172

习题11．2178

3 正项级数179

一、比较判别法179

二、比值判别法183

三、根值判别法186

四、积分判别法187

习题11．3188

4 任意项级数190

一、绝对收敛与条件收敛190

二、绝对收敛级数的重要性质194

习题11．4198

5 广义积分敛散性判别法198

一、敛散性判别法199

二、Γ-函数204

三、B-函数206

习题11．5206

补充题207

阅读材料九 关于级数敛散性的一些问题208

第十二章 幂级数212

1 函数项级数的概念212

2 幂级数214

一、幂级数的收敛域214

二、幂级数的运算性质221

习题12．2225

3 泰勒级数226

习题12．3234

4 函数值的近似计算235

习题12．4238

5 欧拉公式239

6 函数项级数的一致收敛240

一、一致收敛的概念240

二、一致收敛的判定242

三、一致收敛级数的重要性质244

四、三个定理的证明247

习题12．6249

补充题249

第十三章 傅里叶级数251

1 函数的傅里叶级数251

习题13．1257

2 奇函数与偶函数的傅里叶级数258

习题13．2261

3 半区间上函数的傅里叶级数261

习题13．3263

4 任意区间上函数的傅里叶级数263

习题13．4269

5 傅里叶级数的指数形式270

习题13．5273

补充题273

阅读材料十 傅里叶级数的产生273

第十四章 常微分方程276

1 常微分方程的基本概念276

习题14．1281

2 可分离变量方程281

习题14．2283

3 齐次方程283

一、齐次方程283

二、可化齐次方程288

习题14．3290

4 一阶线性方程291

一、一阶线性齐次方程291

二、一阶线性非齐次方程293

三、伯努利方程297

习题14．4299

5 全微分方程300

习题14．5306

6 可降阶的高阶微分方程306

习题14．6312

7 线性微分方程解的结构313

一、二阶线性齐次方程313

二、二阶线性非齐次方程316

三、n阶线性方程317

习题14．7318

8 常系数线性微分方程319

一、二阶常系数线性齐次方程319

二、n阶常系数线性齐次方程321

三、二阶常系数线性非齐次方程322

四、n阶常系数线性非齐次方程328

五、应用简介329

习题14．8331

9 欧拉方程332

习题14．9333

10 幂级数解法简介334

习题14．10337

11 常系数线性微分方程组的初等解法简介338

12 一阶微分方程近似解法简介340

补充题342

阅读材料十一 解一阶微分方程的几个问题344

一、求解公式344

二、变量代换344

三、积分因子346

四、隐式方程348

第十五章 场论初步352

1 矢量分析352

一、矢性函数的概念352

二、矢性函数的图形353

三、矢性函数的极限353

四、矢性函数的导数354

五、矢性函数的微分355

六、矢性函数的积分356

七、例357

习题15．1359

2 场的概念360

一、场360

二、数量场的等值面361

三、矢量场的矢量线361

习题15．2362

3 数量场的梯度362

一、方向导数362

二、梯度363

习题15．3365

4 矢量场的通量与散度366

一、通量366

二、散度368

习题15．4370

5 矢量场的环量与旋度370

一、环量与环量面密度370

二、旋度372

习题15．5374

6 哈密顿算子374

补充题375

阅读材料十二 几种重要的矢量场简介375

习题答案377