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第八章 重积分1

§1 以二重积分的概念1

1.平面集合的面积1

2.二重积分的定义5

3.可积的必要条件与充分条件7

4.二重积分的基本性质9

习题8.111

§2 二重积分的计算13

1.化二重积分为累次积分13

2.利用对称性化简计算20

3.极坐标下二重积分的计算22

习题8.228

§3 二重积分的一般变量替换法则30

习题8.339

§4 三重积分的概念与计算40

1.三重积分的概念40

2.三重积分的基本性质42

3.三重积分的计算43

4.三重积分的换元公式49

5.柱坐标变换50

6.球坐标变换51

7.广义球坐标变换54

习题8.455

§5 重积分应用举例56

1.曲面面积56

2.力矩与质心59

3.转动惯量63

4.引力65

习题8.569

第九章 曲线积分与曲面积分70

§1 第一型曲线积分70

1.可求长曲线与弧长70

2.第一型曲线积分的定义与性质76

3.第一型曲线积分的计算77

习题9.182

§2 第二型曲线积分83

1.第二型曲线积分的概念83

2.第二型曲线积分的计算86

3.平面第二型曲线积分格林公式90

4.平面第二型曲线积分与路径无关的条件96

5.恰当微分形式与原函数99

习题9.2104

§3 曲面积分105

1.关于曲面的基本概念106

2.第一型曲面积分的定义110

3.曲面的定向114

4.第二型曲面积分117

5.第二型曲面积分的计算120

习题9.3123

§4 奥—高公式与斯托克斯公式124

1.奥—高公式124

2.斯托克斯公式129

习题9.4133

§5 场论初步135

1.场的基本概念135

2.梯度与等值面135

3.散度与通量138

4.旋度与环量139

习题9.5142

第十章 无穷级数143

§1 无穷级数的基本概念143

1.无穷级数的概念143

2.无穷级数的收敛与发散144

3.收敛的必要条件146

4.级数的柯西收敛原理147

5.收敛级数的性质150

习题10.1154

§2 正项级数155

1.正项级数收敛的充要条件155

2.比较判别法156

3.柯西判别法161

4.达朗贝尔判别法164

5.拉贝判别法169

6.积分判别法173

习题10.2175

§3 任意项级数177

1.交错级数177

2.绝对收敛与条件收敛的概念179

3.阿贝尔判别法与狄利克雷判别法180

4.绝对收敛级数与条件收敛级数的性质185

5.级数的乘法192

习题10.3197

§4 无穷乘积198

1.无穷乘积的概念198

2.无穷乘积的性质201

3.无穷乘积的绝对收敛与条件收敛206

习题10.4212

第十一章 函数项级数213

§1 函数序列的一致收敛性213

1.函数序列的概念与基本问题213

2.函数序列的一致收敛性216

习题11. 1224

§2 函数项级数225

1.一般概念225

2.函数项级数的一致收敛性228

3.关于函数项级数的若干性质236

习题11.2240

§3 幂级数242

1.收敛区间与收敛半径243

2.收敛半径的计算245

3.幂级数的性质250

习题11.3257

§4 泰勒级数258

1.泰勒级数259

2.函数的泰勒展开261

3.其他形式的泰勒展开余项264

4.初等函数的展开式267

习题11.4269

第十二章 广义积分与含参变量积分270

§1 无穷积分270

1.无穷积分的概念270

2.无穷积分的柯西收敛原理275

3.比较判别法276

4.阿贝尔判别法与狄利克雷判别法282

习题12.1289

§2 瑕积分290

1.瑕点与瑕积分290

2.关于瑕积分的柯西收敛原理295

3.比较判别法296

4.阿贝尔判别法与狄利克雷判别法300

5.瑕积分与无穷积分的联系302

6.柯西主值与奇异积分303

习题12.2306

§3 含参变量积分307

1.含参变量积分的概念307

2.含参变量积分的连续性307

3.积分号下求导309

4.积分号的交换313

习题12.3315

§4 含参变量无穷积分317

1.含参变量无穷积分的概念317

2.含参变量无穷积分一致收敛的判别法319

3.一致收敛的含参变量无穷积分的性质324

4.迪尼定理332

习题12.4334

§5 含参变量瑕积分335

习题12.5342

§6 Г函数与B函数342

1.Г函数343

2.B函数346

3.若干应用350

习题12.6352

第十三章 傅里叶级数与傅里叶积分354

§1 三角函数系及其正交性354

1.三角函数系354

2.黎曼可积函数空间355

3.三角函数系的正交性356

习题13.1357

§2 周期函数的傅里叶级数358

1.以2π为周期的函数的傅里叶级数358

2.以2π为周期的奇偶函数的傅里叶级数361

3.任意周期的周期函数的傅里叶级数363

4.定义在有穷区间上的函数的傅里叶级数366

习题13.2372

§3 傅里叶级数的收敛性374

1.狄利克雷积分374

2.黎曼引理377

3.傅里叶级数的收敛性判别法379

习题13.3392

§4 均方逼近与贝塞尔不等式394

1.均方逼近的概念394

2.贝塞尔不等式396

3.几何的解释402

习题13.4405

*§5 傅里叶积分与傅里叶变换407

1.傅里叶积分407

2.傅里叶变换409

3.傅里叶变换的性质413

4.应用举例416

习题13.5417

习题答案418