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第1章 求极限的方法与技巧1

§1—1 函数的极限1

一、初等变换法1

二、无穷小替换法2

三、罗必达(L’Hospita1)法则4

四、利用泰勒(Taylor)公式6

五、利用导数的定义7

§1—2 数列的极限8

一、利用海涅(Heine)定理8

二、利用单调有界准则9

三、利用两边夹准则10

四、利用定积分的定义11

五、利用积分中值定理12

一、讨论极限的存在性13

§1—3 几类典型问题13

二、无穷小的阶的比较15

三、极限的局部逆问题16

第2章 函数及其连续性20

§2—1 函数的概念与基本性质20

一、求函数的定义域20

二、函数符号的运用20

三、函数的基本特性21

§2—2 讨论函数的连续性23

§2—3 确定函数的间断点及其类型25

§2—4 闭区间上连续函数性质的应用26

第3章 一元函数微分学31

§3—1 导数与微分的计算方法31

一、利用导数的定义求导数31

二、利用导数的运算法则求导数35

四、高阶导数的计算36

三、对数求导法36

五、微分的计算方法38

§3—2 微分中值定理及其应用40

§3—3 导数的应用43

一、求曲线的切线与法线方程44

二、讨论函数的单调性、求函数的极值45

三、判定曲线的凹凸性、求曲线的拐点47

四、描绘函数的图形48

五、求曲线的曲率、曲率半径、曲率中心48

六、确定函数的最大值与最小值49

第4章 一元函数积分学53

§4—1 不定积分法53

一、直接积分法53

二、凑微分法53

三、换元积分法54

四、分部积分法57

五、部分分式法59

§4—2 定积分的计算与典型问题的求解61

一、计算定积分的基本方法62

二、计算分段函数的定积分62

三、计算定积分的若干技巧64

四、定积分中的几类典型问题65

§4—3 广义积分的计算方法67

第5章 两类典型问题的论证方法72

§5—1 不等式72

一、利用微分法证明不等式72

二、利用积分法证明不等式75

三、利用幂级数证明不等式79

一、确定函数的零点(方程的根)81

§5—2 介值存在性问题的论证方法81

三、双介值问题83

二、几何问题83

四、区间变换问题84

五、含有介值的不等式85

§5—3 构造辅助函数的三种方法86

一、参数变易法87

二、不定积分法88

三、微分方程法90

第6章 向量代数与空间解析几何94

§6—1 向量代数94

一、向量的基本运算94

二、证明恒等式或简化算式95

三、利用向量方法求解几何问题96

一、基本方法98

§6—2 空间直线与平面98

二、待定参数法99

三、平面束法100

四、向量投影法101

五、辅助平面法102

§6—3 曲面与方程102

一、典型二次曲面102

二、一般旋转曲面103

第7章 多元函数微分学106

§7—1 二元函数的极限106

一、讨论二重极限的存在性106

二、求二重极限的方法107

§7—2 多元函数微分法108

一、讨论二元函数的连续性、可导性与可微性的关系108

二、求复合函数的偏导数的方法109

三、求隐函数的偏导数的方法111

四、求高阶偏导数的方法113

五、求方向导数的方法115

§7—3 多元函数微分法的应用116

一、求曲面的切平面方程与法线方程116

二、求空间曲线的切线方程与法平面方程117

三、求二元函数极值的方法119

四、求二元函数在有界闭区域上的最大值最小值的方法120

五、多元函数条件极值的应用120

第8章 重积分的计算方法124

§8—1 二重积分的基本计算方法124

一、利用直角坐标计算二重积分124

二、利用极坐标计算二重积分125

一、利用直角坐标计算三重积分126

§8—2 三重积分的基本计算方法126

二、利用柱面坐标计算三重积分127

三、利用球面坐标计算三重积分127

§8—3 计算重积分的几种典型技巧128

一、利用“先二后一法”计算三重积分129

二、利用重积分的对称性简化计算130

三、重积分的积分区域的剖分133

§8—4 逐次积分的计算方法135

一、主观型交换积分次序135

二、客观型交换积分次序137

三、应用型交换积分次序138

§8—5 重积分的一般换元法139

一、二重积分的一般换元法140

二、三重积分的一般换元法140

一、第一类曲线积分的基本计算方法144

第9章 曲线积分与曲面积分144

§9—1 第一类曲线积分与第一类曲面积分144

二、第一类曲面积分的基本计算方法145

三、曲线积分与曲面积分的对称性146

§9—2 第二类曲线积分147

一、利用基本公式化为定积分计算148

二、利用格林(Green)公式计算149

三、利用恰当条件法计算150

四、选择适当路径法计算150

五、曲线积分中的不等式152

§9—3 第二类曲面积分153

一、基本计算方法153

二、类型转换法155

三、投影转换法155

四、利用高斯(Gauss)公式计算157

§9—4 空间曲线上的第二类曲线积分的计算158

一、基本计算方法158

二、利用斯托克斯(Stokes)公式160

三、利用积分曲线投影法161

§9—5 梯度、散度与旋度162

一、梯度(gradient)162

二、散度(divergence)162

三、旋度(rotation)162

第10章 无穷级数166

§10—1 常数项级数的审敛法166

一、利用级数的基本性质判定级数的敛散性167

二、正项级数的审敛法168

三、一般数项级数的审敛法170

§10—2 幂级数175

一、求幂级数的收敛域176

二、求幂级数的和函数178

三、求函数的幂级数展开式180

§10—3 傅立叶(Fourier)级数181

一、傅立叶级数的收敛定理及其应用182

二、将周期为2l的函数展成傅立叶级数的方法182

三、将函数在[-l，l]上展成傅立叶级数的方法183

四、将函数在[0，l]上展成正弦级数或余弦级数的方法184

§10—4 求常数项级数之和184

一、利用级数收敛的定义求常数项级数的和184

二、利用幂级数求常数项级数的和185

三、利用傅立叶级数求常数项级数的和186

第11章 微分方程190

§11—1 一阶微分方程的解法190

一、可分离变量方程的解法190

二、齐次方程的解法191

三、一阶线性微分方程的解法192

四、全微分方程的解法193

§11—2 高阶微分方程的解法197

一、几种可降阶的高阶微分方程的解法197

二、高阶线性微分方程解的结构及其应用198

三、高阶常系数线性齐次微分方程的解法199

四、高阶常系数线性非齐次微分方程的解法200

五、欧拉(Euler)方程的解法202

六、线性微分方程组的解法202

§11—3 微分方程的应用203

一、利用微分方程求解函数方程203

二、利用微分方程求解几何问题205

三、利用微分方程求解物理问题205

一、微分法在近似计算中的应用209

第12章 微积分学中的应用问题209

§12—1 近似计算209

二、幂级数在近似计算中的应用210

三、泰勒公式在近似计算中的应用211

§12—2 积分学在物理中的应用212

一、求物体的质量与重心212

二、求变力所做的功213

三、求转动惯量214

四、利用元素法求引力215

§12—3 积分学在几何中的应用216

一、求平面图形的面积216

二、求空间区域的体积219

第13章 高等数学综合解题策略228

一、适时利用初等变换技巧228

二、注重借助几何直观性231

三、充分挖掘隐含条件234

四、灵活运用反证法236

五、善于捕捉辅助信息238

第14章 行列式与矩阵运算241

§14—1 行列式的计算241

一、基本概念与重要结论241

二、利用降阶法计算行列式242

三、利用化三角法计算行列式243

四、计算行列式的其它方法245

§14—2 矩阵运算246

一、基本概念与重要结论246

二、矩阵的运算250

三、分块矩阵的运算257

四、矩阵的秩259

一、基本概念与重要结论265

第15章 n维向量空间与线性方程组265

§15—1 向量组的线性相关性265

二、向量的运算267

三、判定向量组线性相关性的方法267

四、极大无关组与向量组的秩271

§15—2 n维向量空间273

一、基本概念与重要结论273

二、求向量在基下的坐标的方法275

三、过渡矩阵与坐标变换275

四、正交向量组与正交矩阵276

§15—3 线性方程组278

一、基本概念与重要结论278

二、利用克莱姆法则求解线性方程组281

三、利用初等行变换求解线性方程组282

四、将一个向量用一向量组线性表示的方法284

五、线性方程组的若干应用问题286

第16章 相似矩阵与二次型292

§16—1 矩阵的特征值和特征向量292

一、基本概念与重要结论292

二、矩阵的特征值和特征向量293

三、矩阵的相似对角化297

§16—2 二次型301

一、基本概念与重要结论301

二、二次型及其矩阵表示303

三、二次型的标准形304

四、正定二次型与正定矩阵308

第17章 选择题集萃313

习题答案与提示332