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第1章 函数、极限与连续1

1.1函数1

1.1.1集合1

1.1.2函数的概念5

1.1.3函数的几种特性7

1.1.4复合函数与反函数8

1.1.5映射10

1.1.6初等函数与非初等函数10

习题1-112

1.2极限15

1.2.1极限概念引例15

1.2.2数列的极限16

1.2.3自变量趋于无穷大时函数的极限19

1.2.4自变量趋于有限值时函数的极限20

1.2.5无穷小与无穷大24

习题1-226

1.3极限的性质与运算27

1.3.1极限的几个性质27

1.3.2极限的四则运算法则29

1.3.3函数极限与数列极限的关系31

1.3.4夹遇法则32

1.3.5复合运算法则34

习题1-336

1.4单调有界原理和无理数e37

1.4.1单调有界原理37

1.4.2极限limx→∞（1+1/x）x=e38

1.4.3指数函数ex，对数函数1n x，双曲函数41

习题1-442

1.5无穷小的比较43

1.5.1无穷小的阶43

1.5.2利用等价无穷小代换求极限45

习题1-546

1.6函数的连续与间断47

1.6.1函数的连续与间断47

1.6.2初等函数的连续性51

习题1-655

1.7闭区间上连续函数的性质56

1.7.1闭区间上连续函数的有界性与最值性质56

1.7.2闭区间上连续函数的介值性质57

习题1-760

1.8实数的连续性60

1.8.1实数连续性定理60

1.8.2闭区间连续函数性质的证明67

习题1-872

1.9应用实例72

复习题一77

习题参考答案与提示79

第2章 一元函数微分学及其应用82

2.1导数的概念82

2.1.1引出导数概念的2个经典问题82

2.1.2导数的概念83

2.1.3用定义求导数举例85

2.1.4导数的几何意义及应用87

2.1.5函数可导性与连续性的关系88

习题2-188

2.2求导法则90

2.2.1函数的和、差、积、商的求导法则90

2.2.2复合函数的求导法则92

2.2.3反函数的求导法则93

2.2.4一些特殊的求导法则和方法95

习题2-299

2.3函数的微分100

2.3.1微分的概念101

2.3.2微分公式与运算法则102

2.3.3微分的应用104

习题2-3107

2.4高阶导数与高阶微分107

2.4.1高阶导数的定义107

2.4.2隐函数和参数方程所确定的函数的高阶导数108

2.4.3函数的n阶导数109

2.4.4高阶微分111

习题2-4112

2.5洛必达法则113

2.5.1 00型未定式的极限113

2.5.2∞∞型未定式的极限115

2.5.3其他类型未定式的极限115

习题2-5116

2.6微分中值定理117

2.6.1罗尔定理117

2.6.2拉格朗日中值定理118

2.6.3柯西准则120

习题2-6122

2.7泰勒公式122

2.7.1泰勒多项式与泰勒公式122

2.7.2常用函数的麦克劳林公式125

2.7.3泰勒公式的应用126

习题2-7128

2.8利用导数研究函数的性态129

2.8.1函数的单调性129

2.8.2函数的极值131

2.8.3函数的最大值与最小值133

2.8.4函数的凸性与拐点134

习题2-8135

2.9平面曲线的曲率137

2.9.1弧微分137

2.9.2曲率和曲率公式138

习题2-9141

2.10非线性方程的数值解法141

2.10.1二分法141

2.10.2切线法（牛顿法）142

习题2-10144

复习题二144

习题参考答案与提示146

第3章 一元函数积分学及其应用151

3.1定积分的概念、性质、可积准则151

3.1.1定积分问题举例151

3.1.2定积分的概念153

3.1.3定积分的几何意义154

3.1.4可积准则155

3.1.5定积分的性质156

习题3-1160

3.2微积分基本定理161

3.2.1牛顿-莱布尼兹公式161

3.2.2原函数存在定理162

习题3-2165

3.3不定积分166

3.3.1不定积分的概念及性质166

3.3.2基本积分公式167

3.3.3积分法则168

习题3-3177

3.4定积分的计算178

3.4.1定积分的换元法179

3.4.2定积分的分部积分法182

习题3-4183

3.5定积分应用举例184

3.5.1总量的可加性与微元法184

3.5.2几何应用举例185

3.5.3物理、力学应用举例190

习题3-5193

3.6反常积分195

3.6.1无穷区间上的反常积分195

3.6.2无界函数的反常积分197

3.6.3反常积分的收敛判别法199

习题3-6202

3.7定积分的近似计算203

3.7.1牛顿-柯特斯（Newton-Cotes）公式204

3.7.2复化牛顿-柯特斯公式与逐次分半算法205

习题3-7207

复习题三207

习题参考答案与提示209

第4章 微分方程214

4.1微分方程的基本概念215

4.1.1基本概念215

4.1.2作为数学模型的微分方程218

习题4-1220

4.2微分方程的初等积分法221

4.2.1一阶可分离变量方程221

4.2.2一阶线性微分方程223

4.2.3利用变量代换求解微分方程225

4.2.4某些可降阶的高阶微分方程228

习题4-2230

4.3一阶微分方程建模231

4.3.1线性方程231

4.3.2非线性方程234

4.3.3线性微分方程组和非线性方程组237

习题4-3240

4.4高阶线性微分方程240

4.4.1线性微分方程通解的结构240

4.4.2高阶常系数齐次线性微分方程的解法243

4.4.3高阶常系数非齐次线性微分方程的解法246

4.4.4某些变系数线性微分方程的解法252

习题4-4255

4.5线性微分方程组256

4.5.1线性微分方程组通解的结构256

4.5.2常系数齐次线性微分方程组的解法259

4.5.3常系数非齐次线性微分方程组的解法263

习题4-5265

4.6微分方程的数值解266

4.6.1欧拉方法与误差分析266

4.6.2龙格-库塔法270

4.6.3多步法273

习题4-6274

习题参考答案与提示274

附录 几种常见曲线278

参考文献280