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第1篇 微积分2

1.1函数2

1.1.1求几类函数的表达式2

题型1.1.1.1已知函数，求其反函数的表达式2

题型1.1.1.2求与复合函数有关的函数表达式2

1.1.2奇、偶函数的判别及其性质的应用4

题型1.1.2.1判别经四则运算后的函数的奇偶性4

题型1.1.2.2判别自变量带相反符号的两同名函数的代数和的奇偶性4

题型1.1.2.3判别复合函数的奇偶性5

题型1.1.2.4判别原函数F（x）=∫x0f（t）dt的奇偶性5

题型1.1.2.5判别函数（akx±1）/（akx？1）的奇偶性（a＞0，a≠1，k≠0）5

题型1.1.2.6奇、偶函数的几个性质的应用5

1.1.3函数有界性的判定6

题型1.1.3.1判定在有限开区间内连续函数的有界性6

题型1.1.3.2判定在无穷区间内连续函数的有界性7

题型1.1.3.3判定分段连续函数的有界性7

1.1.4讨论函数的周期性8

习题1.19

1.2极限、连续11

1.2.1极限的概念与基本性质11

题型1.2.1.1正确理解极限定义中的“ε、N”，“ε、δ”，“ε、X’”语言的含义11

题型1.2.1.2正确区别无穷大量与无界变量11

题型1.2.1.3正确运用极限的保序性、保号性12

题型1.2.1.4运用极限的四则运算法则或夹逼准则判别极限的存在性13

1.2.2求未定式极限14

题型1.2.2.1求0/0或∞/∞型极限14

题型1.2.2.2求0·∞型极限16

题型1.2.2.3求∞-∞型极限16

题型1.2.2.4求幂指函数型（00型，∞0型，1∞型）极限17

1.2.3求数列极限19

题型1.2.3.1求无穷多项和的极限19

题型1.2.3.2求由递推关系式给出的数列极限22

1.2.4求几类子函数形式特殊的函数极限22

题型1.2.4.1求需先考察左、右极限的函数极限22

题型1.2.4.2求含1/x的函数极限24

题型1.2.4.3求含根式差的函数极限25

题型1.2.4.4求含指数函数差的函数极限25

题型1.2.4.5求含幂指函数的函数极限26

题型1.2.4.6求含lnf（x）的函数极限，其中lim fx→□（x）=126

题型1.2.4.7求含有界变量为因子的函数极限26

题型1.2.4.8求含参变量x的函数极限lim？n→∞（x，n）27

1.2.5已知含未知函数的极限求与该函数有关的极限28

1.2.6求极限式中的待定常数29

题型1.2.6.1求有理函数极限式中的待定常数29

题型1.2.6.2确定分式函数极限式中的待定常数30

题型1.2.6.3求∞±∞型的根式极限式中的待定常数31

题型1.2.6.4求含变项积分的极限式中的待定常数32

1.2.7比较和确定无穷小量的阶32

题型1.2.7.1比较无穷小量的阶33

题型1.2.7.2确定无穷小量为几阶无穷小量34

题型1.2.7.3利用无穷小量阶的比较求待定常数35

1.2.8讨论函数的连续性及间断点的类型35

题型1.2.8.1判别初等函数的连续性36

题型1.2.8.2讨论分段函数的连续性37

题型1.2.8.3讨论含参变量的极限式所定义的函数的连续性37

题型1.2.8.4判别函数间断点的类型37

1.2.9连续函数性质的两点应用39

题型1.2.9.1利用连续函数性质证明中值等式命题39

题型1.2.9.2证明方程实根的存在性40

1.2.10极限在经济活动分析中的应用41

题型1.2.10.1计算连续复利41

题型1.2.10.2求解贴现问题41

习题1.243

1.3一元函数微分学47

1.3.1导数定义的三点应用47

题型1.3.1.1讨论函数在某点的可导性47

题型1.3.1.2利用导数定义求某些函数的极限50

题型1.3.1.3利用导数定义求函数表达式51

1.3.2讨论分段函数的可导性及其导函数的连续性52

题型1.3.2.1讨论分段函数的可导性52

题型1.3.2.2讨论分段函数的导函数的连续性52

题型1.3.2.3讨论一类特殊分段函数在其分段点的连续性、可导性及其导函数的连续性53

1.3.3讨论含绝对值的函数的可导性54

题型1.3.3.1讨论绝对值函数|f（x）|的可导性54

题型1.3.3.2讨论f（x）=|？（x）|g（x）的可导性54

1.3.4求一元函数的导数和微分55

题型1.3.4.1求复合函数的一阶导数与二阶导数55

题型1.3.4.2求反函数的导数56

题型1.3.4.3求由一个方程所确定的隐函数的导数57

题型1.3.4.4求分段函数的一阶、二阶导数58

题型1.3.4.5求带绝对值的函数的导数58

题型1.3.4.6求幂指函数及含多个因子连乘积的函数的导数58

题型1.3.4.7求由参数方程所确定的函数的导数59

题型1.3.4.8求某些简单函数的高阶导数60

题型1.3.4.9求一元函数的微分62

1.3.5利用函数的连续性、可导性确定其待定常数63

题型1.3.5.1利用函数的连续性确定其待定常数63

题型1.3.5.2根据函数的可导性确定待定常数64

1.3.6利用微分中值定理的条件及其结论解题65

1.3.7利用罗尔定理证明中值等式66

题型1.3.7.1证明存在ξ∈（a，b），使cf′（ξ）=bg′（ξ），其中c，b为常数66

题型1.3.7.2证明存在ξ∈（a，b），使f（ξ）g′（ξ）+f′（ξ）g（ξ）=067

题型1.3.7.3证明存在ξ∈（a，b），使f′（ξ）g（ξ）-f（ξ）g′（ξ）=0 （g（ξ）≠0）68

题型1.3.7.4证明存在ξ∈（a，b），使f′（ξ）+g′（ξ）f（ξ）=068

题型1.3.7.5证明存在ξ∈（a，b），使f′（ξ）+g′（ξ）[f（ξ）-bξ]=b69

题型1.3.7.6已知函数在端点和在别处的取值情况，证明有关的中值等式69

题型1.3.7.7证明存在ξ∈（a，b），使nf（ξ）+ξf′（ξ）=0（n为正整数）70

题型1.3.7.8利用定积分等式或变限定积分证明中值等式70

题型1.3.7.9证明存在ξ∈（a，b），使F（k）（ξ）=0（k≥2）72

1.3.8拉格朗日中值定理的几点应用72

题型1.3.8.1证明与函数差值有关的中值命题73

题型1.3.8.2证明函数与其导数的关系74

题型1.3.8.3证明含或可化为函数差值的不等式75

题型1.3.8.4求中值的（极限）位置76

1.3.9利用柯西定理证明中值等式77

题型1.3.9.1证明两函数差值之比的中值等式77

题型1.3.9.2证明两函数导数之比的中值等式77

1.3.10证明多个中值所满足的中值等式78

1.3.11利用导数讨论函数性态80

题型1.3.11.1证明函数在区间I上是一个常数80

题型1.3.11.2证明（判别）函数的单调性80

题型1.3.11.3利用极限式讨论函数是否取得极值82

题型1.3.11.4利用二阶微分方程讨论函数是否取极值，其曲线是否有拐点83

题型1.3.11.5利用导数（值）的不等式，讨论函数是否取极值，其曲线是否有拐点83

题型1.3.11.6求函数的单调区间、极值、最值84

题型1.3.11.7求曲线凹凸区间与拐点85

题型1.3.11.8求曲线的渐近线88

题型1.3.11.9利用函数性态作函数图形89

题型1.3.11.10已知函数的图形，确定其函数或其导函数性质90

题型1.3.11.11利用导函数的图形，确定原来函数的性态91

1.3.12利用函数性态，讨论方程的根91

题型1.3.12.1讨论不含参数的方程实根的存在性及其个数91

题型1.3.12.2讨论含参数的方程实根的个数及其所在区间92

1.3.13利用导数证明不等式93

题型1.3.13.1已知F（a）≥0（或F（b）≥0），证明x＞a（或x＜b）时F（x）＞093

题型1.3.13.2证明含常数加项的不等式94

题型1.3.13.3利用函数导数值的大小比较函数值的大小95

题型1.3.13.4证明含两个变量（常数）的函数（数值）不等式96

1.3.14一元函数微分学的几何应用97

题型1.3.14.1求平面曲线的切线方程和法线方程97

题型1.3.14.2求解与切线在坐标轴上的截距有关的问题98

题型1.3.14.3求解与两曲线相切的有关问题99

1.3.15导数在经济活动分析中的应用99

题型1.3.15.1计算弹性100

题型1.3.15.2计算边际函数101

题型1.3.15.3求解与边际和弹性有关的应用题101

题型1.3.15.4求解经济应用中一元函数的最值问题103

习题1.3104

1.4一元函数积分学108

1.4.1原函数的判定及其求法108

题型1.4.1.1函数存在原函数的条件108

题型1.4.1.2原函数的判定108

题型1.4.1.3求分段函数的原函数109

题型1.4.1.4利用积分运算与微分运算的互逆关系求解与原函数的有关问题110

题型1.4.1.5已知函数的原函数，求该函数或与该函数有关的不定积分111

1.4.2计算不定积分111

题型1.4.2.1计算∫f（x）g（x）dx111

题型1.4.2.2计算简单无理函数的不定积分112

题型1.4.2.3求∫1/（ax+b）kf[1/（ax+b）k-1]dx，其中k≠1为正实数114

题型1.4.2.4求∫f（x）/g（x）dx114

题型1.4.2.5求被积函数的分母为相差常数的两函数乘积的积分116

题型1.4.2.6求被积函数含反三角函数为因子函数的积分116

1.4.3利用定积分性质计算定积分117

题型1.4.3.1利用其几何意义计算定积分117

题型1.4.3.2计算对称区间上的定积分118

题型1.4.3.3计算周期函数的定积分118

题型1.4.3.4利用定积分的常用计算公式求其值119

题型1.4.3.5计算被积函数含函数导数的积分120

题型1.4.3.6比较和估计定积分的大小121

题型1.4.3.7求解含积分值为常数的函数方程121

题型1.4.3.8计算几类需要分子区间积分的定积分122

题型1.4.3.9计算含参数的定积分123

题型1.4.3.10求需换元计算的定积分124

题型1.4.3.11求连续函数的定积分的极限125

1.4.4求解与变限积分有关的问题126

题型1.4.4.1求含变限积分的未定式极限126

题型1.4.4.2求变限积分的导数127

题型1.4.4.3求变限积分的定积分129

题型1.4.4.4计算分段函数的变限积分129

题型1.4.4.5讨论变限积分函数的性态130

1.4.5证明定积分等式131

题型1.4.5.1证明定积分的变换公式131

题型1.4.5.2证明定积分中值等式133

1.4.6定积分不等式的常用证法133

1.4.7计算反常积分136

题型1.4.7.1计算无穷区间上的反常积分137

题型1.4.7.2判别∫+∞adx/xp与∫+∞adx/x（lnx）p（a＞0）的敛散性139

题型1.4.7.3计算无界函数的反常积分139

题型1.4.7.4判别∫badx/（b-x）p与∫badx/（x-a）p的敛散性141

题型1.4.7.5判别混合型反常积分的敛散性，如收敛计算其值141

1.4.8定积分的应用142

题型1.4.8.1已知曲线方程，求其所围平面图形的面积142

题型1.4.8.2求旋转体体积143

题型1.4.8.3求解几何应用与最值问题相结合的应用题145

题型1.4.8.4已知曲线所围平面图形的面积（或其旋转体体积）反求该曲线146

题型1.4.8.5求函数在区间上的平均值147

题型1.4.8.6由变化率求原经济函数或其变化值147

题型1.4.8.7由边际函数求（最优）总函数148

习题1.4148

1.5多元函数微积分学152

1.5.1二（多）元函数微分学中的几个概念152

题型1.5.1.1判别二元函数的极限、连续、可偏导及可微之间的相互关系153

题型1.5.1.2用定义判别二元函数在某点是否可微154

1.5.2计算偏导数与全微分155

题型1.5.2.1计算显函数的偏导数155

题型1.5.2.2求带抽象函数记号的复合函数偏导数155

题型1.5.2.3计算由一个方程确定的隐函数的（偏）导数158

题型1.5.2.4求由方程组确定的隐函数的（偏）导数159

题型1.5.2.5变换含一阶、二阶偏导数的表达式160

题型1.5.2.6求二元函数的全微分161

1.5.3多元函数微分学的应用162

题型1.5.3.1求二元函数的极值和最值162

题型1.5.3.2求二（多）元函数的条件极值163

1.5.4用直角坐标系计算二重积分165

题型1.5.4.1根据积分区域选择积分次序计算二重积分165

题型1.5.4.2根据被积函数选择积分次序计算二重积分166

题型1.5.4.3证明二次积分等于单积分167

题型1.5.4.4利用对称性简化计算二重积分168

题型1.5.4.5分块计算二重积分170

题型1.5.4.6计算无界区域上较简单的二重积分171

1.5.5用极坐标系计算二重积分173

题型1.5.5.1计算圆域x2+y2≤a（a＞0）上的二重积分173

题型1.5.5.2计算圆域x2+y2≤2ax（a＞0）上的二重积分174

题型1.5.5.3计算圆域x2+y2≤-2ax（a＞0）上的二重积分174

题型1.5.5.4计算圆域x2+y2≤2by（b＞0）上的二重积分175

题型1.5.5.5计算圆域x2+y2≤-2by（b＞0）上的二重积分175

题型1.5.5.6计算圆域x2+y2≤2ax+2by+c上的二重积分176

1.5.6交换二次积分次序与转换二次积分177

题型1.5.6.1交换二（累）次积分的积分次序177

题型1.5.6.2转换二次积分178

1.5.7求含二重积分的极限179

习题1.5179

1.6无穷级数182

1.6.1判别常数项级数的敛散性182

题型1.6.1.1判别正项级数的敛散性182

题型1.6.1.2判别交错级数的敛散性186

题型1.6.1.3判别任意项级数的敛散性187

1.6.2求幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域192

1.6.3求级数的和函数194

题型1.6.3.1求∞∑n=1P（n）xn的和函数，其中P（n）为n的多项式194

题型1.6.3.2求∞∑n=01/Q（n）xn的和函数，其中Q（n）为n的多项式195

题型1.6.3.3求其系数分母为连乘积的幂级数的和函数197

题型1.6.3.4求数项级数的和198

1.6.4初等函数展为幂级数与简单幂级数求和199

题型1.6.4.1初等函数f（x）展为幂级数199

题型1.6.4.2求函数f（x）的n阶导数f（n）（x0）202

习题1.6202

1.7常微分方程与差分方程205

1.7.1求解一阶线性微分方程205

题型1.7.1.1求解变量可分离的微分方程205

题型1.7.1.2求解齐次微分方程205

题型1.7.1.3求解一阶线性微分方程206

题型1.7.1.4求解以x为因变量，y为自变量的一阶微分方程208

题型1.7.1.5求以分段函数为非齐次项或系数的一阶微分方程的连续解208

题型1.7.1.6求解可化为一阶微分方程的函数方程209

1.7.2求解二阶常系数线性微分方程210

题型1.7.2.1求解二阶常系数齐次线性微分方程210

题型1.7.2.2求解二阶常系数非齐次线性微分方程211

题型1.7.2.3求解含或可化为含变限积分的方程212

题型1.7.2.4已知线性微分方程，求具有某性质的特解214

1.7.3已知特解，反求其二阶线性常系数方程214

题型1.7.3.1已知特解，反求其二阶齐次方程214

题型1.7.3.2已知特解，反求其二阶非齐次方程215

1.7.4微分方程的简单应用216

题型1.7.4.1求解与几何量有关的问题216

题型1.7.4.2求解简单的经济应用题216

1.7.5一阶常系数线性差分方程217

题型1.7.5.1求解一阶常系数线性齐次差分方程218

题型1.7.5.2求解一阶非齐次差分方程218

习题1.7221

第2篇 线性代数226

2.1计算行列式226

2.1.1计算数字型行列式226

题型2.1.1.1计算非零元素（主要）在一条或两条线上的行列式226

题型2.1.1.2计算非零元素在三条线上的行列式228

题型2.1.1.3计算行（列）和相等的行列式229

题型2.1.1.4计算范德蒙行列式229

题型2.1.1.5求代数余子式之和的值230

题型2.1.1.6计算n阶可逆矩阵的所有代数余子式的和231

题型2.1.1.7求行列式中含某因子的所有项231

2.1.2计算抽象矩阵的行列式232

题型2.1.2.1计算由行（列）向量表示的矩阵的行列式的值232

题型2.1.2.2计算与伴随矩阵有关的矩阵行列式233

题型2.1.2.3计算含零子块的四分块矩阵的行列式233

题型2.1.2.4证明方阵的行列式等于零234

2.1.3克莱姆法则的应用235

习题2.1237

2.2矩阵239

2.2.1证明矩阵的可逆性239

题型2.2.1.1证明矩阵可逆239

题型2.2.1.2证明和（差）矩阵可逆241

题型2.2.1.3证明方阵为不可逆矩阵241

2.2.2矩阵元素给定，求其逆矩阵的方法242

2.2.3求解与伴随矩阵有关的问题243

题型2.2.3.1计算与伴随矩阵有关的矩阵行列式244

题型2.2.3.2求与伴随矩阵有关的矩阵的逆矩阵245

题型2.2.3.3求与伴随矩阵有关的矩阵的秩246

题型2.2.3.4求伴随矩阵246

题型2.2.3.5证明伴随矩阵的性质247

2.2.4计算方阵高次幂的方法247

2.2.5求矩阵的秩251

题型2.2.5.1求元素具体给定的矩阵的秩251

题型2.2.5.2求抽象矩阵的秩252

题型2.2.5.3已知矩阵的秩，求其待定常数254

2.2.6分块矩阵乘法运算的应用255

2.2.7初等变换与初等矩阵的关系的应用257

题型2.2.7.1用初等矩阵表示初等变换257

题型2.2.7.2利用初等矩阵的性质计算矩阵257

题型2.2.7.3利用矩阵的初等变换性质解题258

2.2.8求解矩阵方程258

题型2.2.8.1求解含单位矩阵E加项的矩阵方程258

题型2.2.8.2求解只含一个未知矩阵的矩阵方程259

题型2.2.8.3求解含多个未知矩阵的矩阵方程260

题型2.2.8.4求与已知矩阵可交换的所有矩阵262

题型2.2.8.5已知一矩阵方程，求方程中某矩阵的行列式263

2.2.9求解与矩阵等价的有关问题263

题型2.2.9.1判别两矩阵等价264

题型2.2.9.2利用矩阵等价的性质求解有关问题264

习题2.2264

2.3向量268

2.3.1判别向量组线性相关、线性无关268

题型2.3.1.1用线性相关性定义做选择题、填空题268

题型2.3.1.2判别分量已知的向量组的线性相关性269

题型2.3.1.3证明几类向量组的线性相关性270

题型2.3.1.4已知向量组的线性相关性，求其待定常数275

2.3.2判定向量能否由向量组线性表示276

题型2.3.2.1判定分量已知的向量能否由向量组线性表示276

题型2.3.2.2判断一抽象向量能否由向量组线性表示277

题型2.3.2.3判别一向量组可否由另一向量组线性表示278

2.3.3两向量组等价的判别方法及常用证法279

2.3.4向量组的秩与极大线性无关组的求（证）法281

题型2.3.4.1求分量给出的向量组的秩及其极大无关组282

题型2.3.4.2将向量用极大线性无关组线性表示283

题型2.3.4.3求解（证明）与向量组的秩有关的问题283

题型2.3.4.4证一向量组为一极大无关组285

2.3.5将线性无关向量组正交规范化285

习题2.3286

2.4线性方程组289

2.4.1判定线性方程组解的情况289

题型2.4.1.1判定齐次线性方程组解的情况289

题型2.4.1.2判定非齐次线性方程组解的情况291

2.4.2由其解反求方程组或其参数292

题型2.4.2.1已知AX=0的解的情况，反求A中参数293

题型2.4.2.2已知AX=b的解的情况，反求方程组中参数293

题型2.4.2.3已知其基础解系，求该方程组的系数矩阵294

2.4.3证明一组向量为基础解系295

2.4.4基础解系和特解的简便求法297

2.4.5求解含参数的线性方程组298

题型2.4.5.1求解方程个数与未知数个数相等的含参数的线性方程组298

题型2.4.5.2求解方程个数与未知数个数不等的含参数的线性方程组302

题型2.4.5.3求解参数仅出现在常数项的线性方程组302

题型2.4.5.4求解通解满足一定条件的含参数的方程组303

2.4.6求抽象线性方程组的通解304

题型2.4.6.1 A没有具体给出，求AX=0的通解304

题型2.4.6.2已知AX=b的特解，求其通解305

题型2.4.6.3利用线性方程组的向量形式求（证明）其解306

2.4.7求两线性方程组的非零公共解307

题型2.4.7.1求两齐次线性方程组的非零公共解307

题型2.4.7.2证明两齐次线性方程组有非零公共解308

题型2.4.7.3讨论两方程组同解的有关问题308

习题2.4310

2.5矩阵的特征值、特征向量314

2.5.1求矩阵的特征值、特征向量314

题型2.5.1.1 求元素已给出的矩阵的特征值、特征向量314

题型2.5.1.2求（证明）抽象矩阵的特征值、特征向量316

2.5.2由特征值和（或）特征向量反求其矩阵317

题型2.5.2.1由特征值和（或）特征向量反求其矩阵的待定常数317

题型2.5.2.2已知特征值、特征向量，反求其矩阵318

2.5.3已知一矩阵的特征值、特征向量，求相关联矩阵的特征值、特征向量320

2.5.4判别或证明方阵是否可对角化322

题型2.5.4.1判别元素给定的矩阵是否可对角化322

题型2.5.4.2判别或证明含重特征值的矩阵是否可对角化322

题型2.5.4.3判别或证明满足抽象矩阵等式的矩阵是否可对角化323

2.5.5相似矩阵的判别及其性质的简单应用324

题型2.5.5.1判定两方阵是否相似324

题型2.5.5.2相似矩阵性质的简单应用325

2.5.6与两矩阵相似有关的计算326

题型2.5.6.1 n阶矩阵A可相似对角化，求A中待定常数及可逆矩阵P，使P-1 AP=diag（λ1，λ2，…，λn）（λi为A的特征值）326

题型2.5.6.2求n阶实对称矩阵A中待定常数及正交矩阵Q，使Q-1 AQ=QTAQ=diag（λ1.λ2，…，λn）（λi为A的特征值）328

题型2.5.6.3 A为实对称矩阵，求与其相似的对角矩阵A329

题型2.5.6.4已知矩阵A和可逆阵P，使P-1AP=B，求方阵B330

题型2.5.6.5计算相似矩阵的高次幂（详见2.2.4节）330

习题2.5330

2.6二次型333

2.6.1求二次型的矩阵及其秩333

题型2.6.1.1用矩阵形式表示二次型333

题型2.6.1.2求二次型的秩334

2.6.2化标准形及由标准形确定二次型334

题型2.6.2.1化二次型为标准形、规范形335

题型2.6.2.2将实对称矩阵合同对角化340

题型2.6.2.3由二次型的标准形确定该二次型342

2.6.3判别（证明）实二次型（实对称矩阵）的正定性342

题型2.6.3.1判别或证明具体给定的二次型或其矩阵的正定性343

题型2.6.3.2判别或证明抽象的二次型（实对称矩阵）的正定性343

题型2.6.3.3确定参数值或其取值范围使二次型或其矩阵正定346

2.6.4判别两矩阵是否合同347

题型2.6.4.1判别（证明）两实对称矩阵合同347

题型2.6.4.2判别（证明）两矩阵不合同348

2.6.5讨论矩阵等价、相似及合同的关系348

习题2.6350

第3篇 概率论与数理统计354

3.1随机事件和概率354

3.1.1随机事件间的关系及其运算354

题型3.1.1.1描绘随机试验的样本空间354

题型3.1.1.2用式子表示事件关系354

题型3.1.1.3利用事件运算的性质或图示法简化事件算式355

题型3.1.1.4求满足一定条件的事件关系355

3.1.2直接计算随机事件的概率356

题型3.1.2.1计算古典型概率356

题型3.1.2.2计算几何型概率357

题型3.1.2.3计算伯努利概型中事件的概率359

3.1.3间接计算随机事件的概率359

题型3.1.3.1计算和、差、积事件的概率359

题型3.1.3.2求与包含关系有关的事件的概率362

题型3.1.3.3计算与互斥事件有关的事件的概率362

题型3.1.3.4求与条件概率有关的事件的概率362

题型3.1.3.5求与他事件有关的单个事件的概率363

题型3.1.3.6判别或证明事件概率不等式363

3.1.4几个计算概率公式的实际应用364

题型3.1.4.1用加法公式求解实际应用题364

题型3.1.4.2用条件概率与概率的乘法公式求解实际应用题365

题型3.1.4.3用全概率公式和逆概率（贝叶斯）公式求解实际应用题365

题型3.1.4.4利用抽签原理计算事件概率368

3.1.5判别事件的独立性368

题型3.1.5.1判别（证明）两事件相互独立368

题型3.1.5.2判别（证明）n（n＞2）个事件相互独立370

习题3.1371

3.2一维随机变量及其分布375

3.2.1分布列、概率密度及分布函数性质的应用375

题型3.2.1.1判别分布列、概率密度及分布函数376

题型3.2.1.2利用分布的性质，确定待定常数或所满足的条件377

题型3.2.1.3求随机变量落在某点或某区间上的概率378

3.2.2求分布列（概率分布）、概率密度及分布函数379

题型3.2.2.1求概率分布（分布律）及分布函数379

题型3.2.2.2求连续型随机变量的分布函数或其取值381

题型3.2.2.3求概率密度382

3.2.3利用常用分布计算事件的概率383

题型3.2.3.1利用二项分布计算伯努利概型中事件的概率383

题型3.2.3.2利用超几何分布计算事件的概率385

题型3.2.3.3利用几何分布计算事件的概率385

题型3.2.3.4利用泊松分布计算事件的概率386

题型3.2.3.5利用均匀分布计算事件的概率387

题型3.2.3.6利用指数分布计算事件的概率387

题型3.2.3.7利用正态分布计算事件的概率388

题型3.2.3.8利用相关分布与二项分布相结合计算事件的概率391

3.2.4求随机变量函数的分布392

题型3.2.4.1求离散型随机变量函数的概率分布392

题型3.2.4.2求连续型随机变量函数的分布393

题型3.2.4.3讨论随机变量函数分布的性质396

习题3.2396

3.3二维随机变量的联合概率分布400

3.3.1求二维随机变量的分布400

题型3.1.1.1求二维离散型随机变量的联合分布律400

题型3.3.1.2求二维随机变量的边缘分布403

题型3.3.1.3由联合分布、边缘分布求条件分布405

题型3.3.1.4由条件分布反求联合分布、边缘分布408

题型3.3.1.5已知分区域定义的联合密度，求其分布函数409

3.3.2随机变量的独立性410

题型3.3.2.1判别两随机变量的独立性410

题型3.3.2.2利用独立性确定联合分布中的待定常数414

3.3.3计算二维随机变量取值的概率415

题型3.3.3.1计算两离散型随机变量运算后取值的概率415

题型3.3.3.2求二维连续型随机变量落入平面区域内的概率416

题型3.3.3.3求与max（X，Y）或（和）min（X，Y）有关的概率417

题型3.3.3.4求系数为随机变量的二次方程有根、无根的概率418

题型3.3.3.5已知系数为随机变量的二次方程有根、无根的概率，反求该随机变量的分布418

3.3.4求二维随机变量函数的分布418

题型3.3.4.1已知（X，Y）的联合分布律，求Z=g（X，Y）的分布律418

题型3.3.4.2求两连续型随机变量的简单函数的分布420

题型3.3.4.3已知X，Y的分布，求max（X，Y）与min（X，Y）的分布424

习题3.3425

3.4随机变量的数字特征429

3.4.1求一维随机变量的数字特征429

题型3.4.1.1求随机变量的数学期望与方差429

题型3.4.1.2求随机变量函数的数学期望与方差433

题型3.4.1.3计算随机变量的矩435

3.4.2求二维随机变量的数字特征436

题型3.4.2.1求（X，Y）的函数g（X，Y）的数学期望和方差436

题型3.4.2.2计算协方差和相关系数440

3.4.3计算两类分布的数字特征447

题型3.4.3.1计算二维正态分布的数字特征447

题型3.4.3.2计算Z=max（X，Y）或（和）W=min（X，Y）的数字特征448

3.4.4讨论随机变量相关性与独立性的关系450

题型3.4.4.1确定两随机变量相关与不相关450

题型3.4.4.2讨论相关性与独立性的关系451

3.4.5已知数字特征，求分布中的待定常数452

3.4.6求解两类综合应用题型453

题型3.4.6.1求解与数字特征有关的实际应用题453

题型3.4.6.2求解概率论与其他数学分支的综合应用题455

习题3.4457

3.5大数定律和中心极限定理461

3.5.1用切比雪夫不等式估计事件的概率461

3.5.2大数定律成立的条件和结论463

题型3.5.2.1利用三个大数定律成立的条件解题464

题型3.5.2.2求随机变量序列依概率的收敛值466

3.5.3两个中心极限定理的简单应用467

题型3.5.3.1利用棣莫弗-拉普拉斯定理近似计算事件的概率467

题型3.5.3.2已知随机变量取值的概率，估计取值范围468

题型3.5.3.3应用列维-林德伯格中心极限定理的条件和结论解题468

题型3.5.3.4近似计算n个随机变量之和取值的概率469

题型3.5.3.5已知n个随机变量之和取值的概率，求个数n470

习题3.5471

3.6数理统计初步473

3.6.1求解统计量分布有关的问题473

题型3.6.1.1求解与统计量分布有关的基本概念问题473

题型3.6.1.2求统计量的分布及其分布参数475

题型3.6.1.3求统计量取值的概率479

题型3.6.1.4已知统计量取值的概率，反求取值范围481

题型3.6.1.5求统计量的数字特征481

题型3.6.1.6求经验分布函数483

3.6.2参数估计484

题型3.6.2.1求总体分布中未知参数的矩估计量（值）484

题型3.6.2.2求未知参数的极（最）大似然估计量（值）487

习题3.6490

习题答案与提示493