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第一篇 高等数学1

第一章 函数 极限 连续1

考点与要求1

1 函数1

内容精讲1

一、定义1

二、重要性质、定理、公式3

例题分析4

一、求分段函数的复合函数4

二、关于函数有界（无界）的讨论5

2 极限6

内容精讲6

一、定义6

二、重要性质、定理、公式7

三、计算极限的一些有关方法8

例题分析11

一、求函数的极限11

二、已知极限值求其中的某些参数，或已知极限求另一与此有关的某极限16

三、含有｜x｜,e1/x的x→0时的极限，含有取整函数［x］的x趋于整数时的极限19

四、无穷小的比较20

五、数列的极限21

六、极限运算定理的正确运用24

3 函数的连续与间断27

内容精讲27

一、定义27

二、重要性质、定理、公式28

例题分析28

一、讨论函数的连续与间断28

二、在连续条件下求参数29

三、连续函数的零点问题29

自测题30

第二章 一元函数微分学33

考点与要求33

1 导数与微分，导数的计算33

内容精讲33

一、定义33

二、重要性质、定理、公式34

例题分析37

一、按定义求一点处的导数37

二、已知f（x）在某点x=x0处可导，求与此有关的某极限或其中某参数，或已知某极限求f（x）在x=x0处的导数38

三、绝对值函数的导数43

四、由极限式表示的函数的可导性44

五、导数与微分、增量的关系45

六、求导数的计算题45

2 导数的应用47

内容精讲47

一、定义47

二、重要性质、定理、公式与方法48

例题分析50

一、增减性、极值、凹凸性、拐点的讨论50

二、渐近线52

三、曲率与曲率圆53

四、最大值、最小值问题54

3 中值定理、不等式与零点问题54

内容精讲54

一、重要定理54

二、重要方法56

例题分析57

一、不等式的证明57

二、f（x）的零点与f′（x）的零点问题61

三、复合函数？（x,f(x),f′(x)）的零点63

四、复合函数？（x,f(x),f′(x),f″(x)）的零点64

五、“双中值”问题65

六、零点的个数问题66

七、证明存在某ξ满足某不等式67

八、f′（x）与f（x）的一些极限性质的关系68

自测题69

第三章 一元函数积分学72

考点与要求72

1 不定积分与定积分的概念、性质、理论72

内容精讲72

一、定义72

二、重要性质、定理、公式73

例题分析74

一、分段函数的不定积分与定积分74

二、定积分与原函数的存在性76

三、奇、偶函数、周期函数的原函数及变限积分77

2 不定积分与定积分的计算80

内容精讲80

一、基本积分公式80

二、基本积分方法81

例题分析83

一、简单有理分式的积分83

二、三角函数的有理分式的积分84

三、简单无理式的积分84

四、两种不同类型的函数相乘的积分86

五、被积函数中含有导数或变限函数的积分87

六、对称区间上的定积分，周期函数的定积分88

七、含参变量带绝对值号的定积分90

3 反常积分及其计算91

内容精讲91

一、定义91

二、重要性质、定理、公式92

例题分析93

一、反常积分的计算与反常积分的敛散性93

二、关于奇、偶函数的反常积分95

4 定积分的应用96

内容精讲96

一、基本方法96

二、重要几何公式与物理应用97

例题分析98

一、几何应用98

二、物理应用101

5 定积分的证明题104

内容精讲104

例题分析104

一、讨论变限积分所定义的函数的奇偶性、周期性、极值、单调性等104

二、由积分定义的函数求极限106

三、积分不等式的证明107

四、零点问题112

自测题114

第四章 向量代数与空间解析几何118

考点与要求118

1 向量代数118

内容精讲118

一、与向量有关的基本概念118

二、向量的运算及性质118

例题分析120

一、向量的运算120

二、向量运算的应用及向量的位置关系121

2 平面与直线123

内容精讲123

一、平面方程123

二、直线方程123

三、平面与直线间的位置关系123

例题分析124

一、建立平面方程124

二、建立直线方程126

三、与平面和直线的位置关系有关的问题128

3 空间曲面与曲线130

内容精讲130

一、旋转面及其方程130

二、柱面及其方程130

三、常见的二次曲面及图形131

四、空间曲线及其方程132

五、空间曲线的投影133

例题分析133

一、建立柱面方程133

二、建立旋转面方程134

三、建立空间曲线的投影曲线方程135

自测题136

第五章 多元函数微分学138

考点与要求138

1 多元函数的极限、连续、偏导数与全微分（概念）138

内容精讲138

一、多元函数138

二、二元函数的极限与连续138

三、二元函数的偏导数与全微分139

例题分析141

一、讨论二重极限141

二、讨论二元函数的连续性、偏导数存在性143

三、讨论二元函数的可微性144

2 多元函数的微分法147

内容精讲147

一、复合函数的偏导数与全微分148

二、隐函数的偏导数与全微分149

例题分析150

一、求复合函数的偏导数与全微分150

二、求隐函数的偏导数与全微分158

3 极值与最值163

内容精讲163

一、无条件极值163

二、条件极值164

例题分析164

一、无条件极值问题164

二、条件极值（最值）问题167

三、多元函数的最大（小）值问题168

4 方向导数与梯度及多元微分在几何上的应用173

内容精讲173

一、方向导数173

二、梯度174

三、曲面的切平面与法线174

四、曲线的切线和法平面174

例题分析175

一、有关方向导数与梯度175

二、有关曲面的切平面和曲线的切线178

自测题180

第六章 多元函数积分学184

考点与要求184

1 重积分184

内容精讲184

一、二重积分184

二、三重积分187

例题分析189

一、计算二重积分189

二、累次积分交换次序及计算198

三、与二重积分有关的综合题200

四、与二重积分有关的积分不等式问题203

五、计算三重积分205

六、三重积分的累次积分209

2 曲线积分210

内容精讲210

一、对弧长的线积分（第一类线积分）210

二、对坐标的线积分（第二类线积分）211

例题分析213

一、对弧长的线积分（第一类线积分）213

二、对坐标的线积分215

3 曲面积分224

内容精讲224

一、对面积的面积分（第一类面积分）224

二、对坐标的面积分（第二类面积分）225

例题分析227

一、对面积的面积分227

二、对坐标的面积分229

4 场论初步234

内容精讲234

一、梯度234

二、通量235

三、散度235

四、旋度235

例题分析235

一、梯度、旋度、散度的计算235

5 多元积分的应用237

内容精讲237

例题分析238

一、几何应用238

二、求物理量239

自测题242

第七章 无穷级数247

考点与要求247

1 常数项级数247

内容精讲247

一、级数的概念与性质247

二、级数的判敛准则248

例题分析249

一、正项级数敛散性的判定249

二、交错级数敛散性的判定253

三、任意项级数敛散性判定256

四、有关常数项级数的证明题与综合题261

2 幂级数266

内容精讲266

一、函数项级数及收敛域与和函数266

二、幂级数的收敛半径，收敛区间及收敛域266

三、幂级数的性质267

四、函数的幂级数展开267

例题分析268

一、求幂级数的收敛域268

二、将函数展开为幂级数271

三、级数求和274

3 傅里叶级数280

内容精讲280

一、三角函数及其正交性280

二、傅里叶级数280

三、收敛性定理280

四、周期为2π的函数的傅里叶展开280

五、周期为2l的函数的傅里叶展开281

例题分析282

一、有关收敛定理的问题282

二、将函数展开为傅里叶级数283

自测题284

第八章 微分方程289

考点与要求289

1 微分方程的概念，一阶与可降阶的二阶方程的解法289

内容精讲289

一、定义289

二、几种特殊类型的一阶微分方程及其解法290

例题分析292

一、识别类型，对号入座，按类型求解292

二、与全微分方程（或与路径无关）有关的问题293

三、积分方程化为微分方程求解294

四、偏微分方程化为常微分方程求解296

五、某些很特殊的函数方程化成微分方程求解297

2 二阶及高阶线性微分方程298

内容精讲298

一、定义298

二、重要性质、定理、公式298

例题分析300

一、识别类型，对号入座，按类型求解300

二、用变量代换解微分方程303

三、自由项为分段函数或含有绝对值号的非齐次线性微分方程求解304

四、写出常系数线性非齐次方程的特解形式305

五、已知方程的解求方程305

六、一般二阶线性非齐次微分方程的解与对应齐次方程的解的关系306

七、欧拉方程求解307

3 微分方程的应用308

内容精讲308

一、几何问题308

二、变化率问题308

三、牛顿第二定律或运动等问题309

四、微元法建立微分方程310

自测题311

第二篇 线性代数313

第一章 行列式313

考点与要求313

内容精讲313

例题分析316

一、数字型行列式的计算316

二、抽象型行列式的计算321

三、行列式｜A｜是否为零的判定323

四、关于代数余子式求和324

自测题325

第二章 矩阵327

考点与要求327

内容精讲327

1 矩阵的概念及运算327

一、矩阵的概念327

二、矩阵的运算328

三、矩阵的运算规则328

四、特殊矩阵329

2 可逆矩阵330

一、可逆矩阵的概念330

二、n阶矩阵A可逆的充分必要条件330

三、逆矩阵的运算性质330

四、求逆矩阵的方法330

3 初等变换、初等矩阵330

一、定义331

二、初等矩阵与初等变换的性质331

4 矩阵的秩332

一、矩阵秩的概念332

二、矩阵秩的公式332

5 分块矩阵332

一、分块矩阵的概念332

二、分块矩阵的运算333

例题分析334

一、矩阵的概念及运算334

二、特殊方阵的幂338

三、伴随矩阵的相关问题340

四、可逆矩阵的相关问题343

五、初等变换、初等矩阵346

六、矩阵秩的计算347

自测题350

第三章 向量352

考点与要求352

内容精讲352

1 向量组的线性相关性352

2 极大线性无关组、秩354

3 向量空间355

例题分析357

一、线性相关性的判别357

二、向量的线性表示359

三、向量组线性无关的证明361

四、秩和极大线性无关组363

五、向量空间367

自测题370

第四章 线性方程组373

考点与要求373

内容精讲373

1 克拉默法则373

2 齐次线性方程组374

3 非齐次线性方程组375

例题分析376

一、线性方程组的基本概念题376

二、线性方程组的求解380

三、基础解系386

四、AX=0的系数行向量和解向量的关系，由AX=0的基础解系反求A388

五、非齐次线性方程组系数列向量与解向量的关系389

六、两个方程组的公共解391

七、同解方程组392

八、线性方程组的有关杂题394

自测题396

第五章 特征值、特征向量、相似矩阵399

考点与要求399

内容精讲399

1 特征值、特征向量399

一、特征值，特征向量399

二、特征方程、特征多项式、特征矩阵399

三、特征值的性质399

四、求特征值、特征向量的方法400

2 相似矩阵、矩阵的相似对角化400

一、相似矩阵400

二、矩阵可相似对角化的充分必要条件400

三、相似矩阵的性质及相似矩阵的必要条件401

3 实对称矩阵的相似对角化401

一、实对称阵401

二、实对称阵的特征值，特征向量及相似对角化401

三、实对称矩阵正交相似于对角阵的步骤401

例题分析402

一、特征值，特征向量的求法402

二、两个矩阵有相同的特征值的证明406

三、关于特征向量407

四、矩阵是否相似于对角阵的判别407

五、利用特征值、特征向量及相似矩阵确定参数410

六、由特征值、特征向量反求A410

七、矩阵相似及相似标准形412

八、相似对角阵的应用416

自测题420

第六章 二次型423

考点与要求423

内容精讲423

1 二次型的概念、矩阵表示423

一、二次型概念423

二、二次型的矩阵表示423

2 化二次型为标准形、规范形 合同二次型424

一、二次型的标准形，规范形424

二、化二次型为标准形，规范形424

三、合同矩阵，合同二次型425

3 正定二次型、正定矩阵426

例题分析426

一、二次型的矩阵表示426

二、化二次型为标准形427

三、合同矩阵、合同二次型432

四、正定性的判别434

五、正定二次型的证明437

六、综合杂题438

自测题440

第三篇 概率论与数理统计442

第一章 随机事件和概率442

考点与要求442

1 事件、样本空间、事件间的关系与运算442

内容精讲442

例题分析444

2 概率、条件概率、独立性和五大公式446

内容精讲446

例题分析448

3 古典概型与伯努利概型452

内容精讲452

例题分析453

自测题455

第二章 随机变量及其概率分布457

考点与要求457

1 随机变量及其分布函数457

内容精讲457

例题分析458

2 离散型随机变量和连续型随机变量459

内容精讲459

例题分析460

3 常用分布461

内容精讲461

例题分析464

4 随机变量函数的分布467

内容精讲467

例题分析467

自测题469

第三章 多维随机变量及其分布471

考点与要求471

1 二维随机变量及其分布471

内容精讲471

例题分析473

2 随机变量的独立性478

内容精讲478

例题分析479

3 二维均匀分布和二维正态分布483

内容精讲483

例题分析484

4 两个随机变量函数Z=g（X,Y）的分布486

内容精讲486

例题分析487

自测题492

第四章 随机变量的数字特征495

考点与要求495

1 随机变量的数学期望和方差495

内容精讲495

例题分析497

2 矩、协方差和相关系数503

内容精讲503

例题分析504

自测题511

第五章 大数定律和中心极限定理514

考点与要求514

内容精讲514

例题分析515

自测题516

第六章 数理统计的基本概念518

考点与要求518

1 总体、样本、统计量和样本数字特征518

内容精讲518

例题分析519

2 常用统计抽样分布和正态总体的抽样分布521

内容精讲521

例题分析523

自测题527

第七章 参数估计529

考点与要求529

1 点估计529

内容精讲529

例题分析529

2 估计量的求法和区间估计534

内容精讲534

例题分析536

自测题540

第八章 假设检验542

考点与要求542

内容精讲542

例题分析543

自测题547