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第一篇 概率论基础3

第1章 可测空间与乘积可测空间3

1.1 σ代数理论3

1.1.1 σ代数3

1.1.2 单调类定理6

1.2 可测空间和乘积可测空间8

1.2.1 可测空间8

1.2.2 有限维乘积可测空间9

1.2.3 无穷维乘积可测空间10

1.3 可测映射与随机变量11

1.3.1 映射、可测映射12

1.3.2 可测函数——随机变量13

1.3.3 可测函数的运算14

1.3.4 函数形式的单调类定理15

1.3.5 多维随机变量16

第2章 测度与积分18

2.1 测度与测度空间18

2.1.1 测度空间18

2.1.2 代数上的测度19

2.1.3 完备测度19

2.1.4 分布函数及其生成的测度20

2.2 随机变量的数字特征22

2.2.1 积分——期望22

2.2.2 随机变量的矩24

2.2.3 随机向量的数学特征26

2.3 随机变量及其收敛性27

2.3.1 随机变量的等价类27

2.3.2 几乎必然（a.s.）收敛28

2.3.3 依概率收敛29

2.3.4 依分布收敛30

2.3.5 平均收敛31

2.4 独立性与零一律32

2.4.1 独立性32

2.4.2 零一律33

2.5 乘积可测空间上的测度35

2.5.1 有限维乘积空间上的测度35

2.5.2 无限维乘积空间上的测度38

第3章 条件期望41

3.1 广义测度41

3.1.1 Hahn-Jordan分解41

3.1.2 Lebesgue分解44

3.1.3 Radon—Nikodym定理46

3.2 条件期望48

3.2.1 条件期望的定义48

3.2.2 条件期望的性质51

3.2.3 条件概率分布54

3.2.4 条件独立性59

第二篇 鞅63

第4章 随机过程63

4.1 随机过程的概念63

4.2 可料过程67

4.3 停时68

4.3.1 连续时间随机过程的停时68

4.3.2 离散时间随机过程的停时74

4.3.3 停时随机变量75

4.3.4 停时过程和截断过程77

4.4 Lp收敛和一致可积79

4.4.1 Lp收敛79

4.4.2 随机变量族的一致可积81

第5章 鞅89

5.1 鞅、下鞅和上鞅89

5.1.1 鞅、下鞅和上鞅的定义89

5.1.2 鞅的凸理论92

5.1.3 离散时间的增过程和Doob分解93

5.1.4 鞅变换95

5.2 下鞅基本不等式98

5.2.1 可选停时和可选采样98

5.2.2 极大极小不等式103

5.2.3 上穿和下穿不等式108

5.3 下鞅的收敛性114

5.3.1 离散时间下鞅的收敛性114

5.3.2 连续时间下鞅的收敛性118

5.3.3 用一个最终元素封闭下鞅121

5.3.4 离散时间L2鞅123

5.4 一致可积下鞅126

5.4.1 一致可积下鞅的收敛性126

5.4.2 逆时间下鞅127

5.4.3 无界停时的可选采样130

5.4.4 停时随机变量的一致可积性134

5.5 下鞅样本函数的正则性136

5.5.1 右连续下鞅的样本函数136

5.5.2 下鞅的右连续修正137

5.6 增过程139

5.6.1 关于增过程的积分139

5.6.2 Doob-Meyer分解143

5.6.3 正则下鞅148

第三篇 随机积分155

第6章 随机积分155

6.1 平方可积鞅和它的二次变差过程155

6.1.1 右连续L2鞅空间155

6.1.2 局部有界变差过程157

6.1.3 二次变差过程160

6.2 关于鞅的随机积分164

6.2.1 有界适应左连续简单过程关于L2鞅的随机积分164

6.2.2 可料过程关于L2鞅的随机积分167

6.2.3 截断被积函数和用停时停止积分174

6.3 适应Brownian运动180

6.3.1 独立增量过程180

6.3.2 Rd值Brownian运动181

6.3.3 一维Brownian运动187

6.3.4 关于Brownian运动的随机积分191

6.4 随机积分的推广194

6.4.1 局部平方可积（L2）鞅和它们的二次变差194

6.4.2 随机积分对局部鞅的推广199

6.5 关于拟鞅的It？公式203

6.5.1 连续局部半鞅和关于拟鞅的It？公式203

6.5.2 关于拟鞅的随机积分205

6.5.3 指数拟鞅207

6.5.4 关于拟鞅的多维It？公式209

6.6 It？随机微积分213

6.6.1 随机微分的空间213

6.6.2 It？过程216

6.6.3 矩不等式220

6.6.4 GRONWALL型不等式225

第四篇 随机微分方程理论231

第7章 It？型随机微分方程的一般理论231

7.1 随机微分方程概述231

7.1.1 问题介绍231

7.1.2 随机微分方程的解的定义231

7.1.3 随机微分方程的实例232

7.2 解的存在和唯一性235

7.2.1 解的存在和唯一性定理235

7.2.2 解的存在和唯一性定理的推广240

7.3 解的估计242

7.3.1 解的Lp-估计242

7.3.2 解的几乎处处渐进估计246

7.4 It？型随机微分方程的近似解253

7.4.1 Caratheodory近似解254

7.4.2 EULER-MARUYAMA近似解257

7.5 SDE和PDE：FEYNMAN-KAC公式259

7.5.1 Dirichlet问题259

7.5.2 初始边界值问题261

7.5.3 Cauchy问题262

7.6 随机微分方程解的MARKOV性264

第8章 线性随机微分方程270

8.1 线性随机微分方程简介270

8.2 随机Liouville公式271

8.3 常数变异公式274

8.4 几种特殊情形的研究276

8.4.1 标量线性方程276

8.4.2 狭义线性方程277

8.4.3 自治线性方程277

8.5 某些特殊的线性随机微分方程278

第9章 随机微分方程的稳定性284

9.1 稳定性的一般概念284

9.2 解的依概率稳定性287

9.3 解的几乎必然指数稳定性295

9.4 解的矩指数稳定性302

9.5 随机稳定化与不稳定化309

9.6 解稳定性的进一步论题314

参考文献319

索引320