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第1章 绪论1

1.0 引言1

1.0.1 数值分析的意义1

1.0.2 数值分析的内容3

1.1 误差4

1.1.1 误差的来源4

1.1.2 绝对误差和相对误差4

1.1.3 有效数字5

1.1.4 误差的传播6

1.2 算法的稳定性8

习题111

第2章 线性方程组的直接解法13

2.0 概述13

2.1 Gauss消元法15

2.1.1 顺序消元法15

2.1.2 列选主元Gauss消元法18

2.1.3 按比例主元消元法21

2.2 矩阵的三角分解与应用22

2.2.1 矩阵的LU分解22

2.2.2 对称正定矩阵的Cholesky分解法（平方根法）25

2.2.3 解三对角线性方程组的“追赶”法27

2.3 直接方法的误差分析28

2.3.1 向量范数和矩阵范数28

2.3.2 矩阵的条件数和误差分析31

2.4 综述35

习题236

第3章 线性方程组的迭代解法39

3.0 概述39

3.1 迭代法的一般理论41

3.1.1 迭代公式的构造41

3.1.2 迭代法的收敛性和误差估计42

3.2 经典迭代法介绍43

3.2.1 雅可比迭代法43

3.2.2 高斯-赛德尔迭代法45

3.2.3 逐次超松弛迭代法47

3.2.4 经典迭代法的收敛条件49

3.3 现代迭代法介绍54

3.3.1 最速下降法54

3.3.2 共轭梯度法55

3.4 综述57

习题358

第4章 函数插值61

4.0 引言61

4.1 Lagrange插值63

4.1.1 Lagrange插值介绍64

4.1.2 余项误差67

4.2 Newton插值70

4.2.1 差商的定义与性质70

4.2.2 Newton插值介绍71

4.2.3 差分及等距节点Newton插值公式74

4.3 Hermite插值76

4.4 分段插值与样条插值81

4.4.1 多项式插值的缺陷与分段插值81

4.4.2 三次样条函数插值83

4.5 综述87

习题487

第5章 最佳逼近90

5.0 引言90

5.1 离散最小二乘逼近91

5.1.1 最小二乘线性拟合91

5.1.2 最小二乘多项式拟合94

5.1.3 曲线拟合96

5.2 最佳平方逼近97

5.3 综述103

习题5103

第6章 数值积分与数值微分106

6.0 引言106

6.1 牛顿-科茨求积分式107

6.1.1 数值积分的基本思想107

6.1.2 插值型求积法109

6.1.3 牛顿-科茨求积公式介绍110

6.1.4 代数精度112

6.1.5 牛顿-科茨求积公式的截断误差及稳定性113

6.2 复化求积公式115

6.2.1 复化梯形求积公式115

6.2.2 复化辛普森求积公式117

6.3 龙贝格求积法118

6.3.1 外推方法118

6.3.2 龙贝格求积法介绍119

6.4 高斯求积公式121

6.4.1 高斯求积公式的基本理论121

6.4.2 常用高斯求积公式123

6.4.3 高斯求积公式的余项与稳定性125

6.5 数值微分126

6.5.1 插值型求导公式127

6.5.2 数值微分的外推算法130

6.6 综述131

习题6132

第7章 非线性方程和方程组的数值解法135

7.0 引言135

7.1 方程求根的二分法136

7.2 一元方程的不动点迭代法137

7.2.1 不动点迭代法及其收敛性138

7.2.2 局部收敛性和加速收敛法141

7.3 一元方程的常用迭代法144

7.3.1 牛顿迭代法144

7.3.2 割线法与抛物线法146

7.4 非线性方程组的数值解法148

7.4.1 非线性方程组的不动点迭代法148

7.4.2 非线性方程组的牛顿法151

7.4.3 非线性方程组的拟牛顿法153

7.5 综述155

习题7155

第8章 矩阵特征值问题的数值解法158

8.0 引言158

8.1 矩阵特征值问题的有关理论159

8.2 乘幂法和反幂法160

8.2.1 乘幂法和加速方法160

8.2.2 反幂法和原点位移163

8.3 QR算法165

8.3.1 Householder变换和Givens变换165

8.3.2 矩阵正交相似于上Hessenberg阵168

8.3.3 QR算法及其收敛性169

8.3.4 带原点位移的QR算法173

8.4 Jacobi方法175

8.5 综述179

习题8180

第9章 常微分方程初值问题的数值解法182

9.0 引言182

9.1 欧拉方法183

9.1.1 欧拉方法及有关的方法183

9.1.2 局部误差和方法的阶186

9.2 龙格-库塔方法187

9.2.1 龙格-库塔方法的基本思想187

9.2.2 几类显式龙格-库塔方法188

9.3 单步法的收敛性和稳定性191

9.3.1 单步法的收敛性191

9.3.2 单步法的稳定性192

9.4 一阶微分方程组的数值解法194

9.4.1 一阶微分方程组和高阶方程194

9.4.2 刚性方程组195

9.5 综述197

习题9197

实验200

实验1 线性方程组求解200

实验2 函数插值204

实验3 函数拟合208

实验4 数值积分212

实验5 非线性方程的数值解法216

实验6 矩阵特征值问题的解法220

实验7 常微分方程数值解法225

习题答案229

参考文献235