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几何计算1

第一章 可展曲面的表示与计算1

1.1 可展函数曲面3

1.1.1 三角域上n次Bézier函数曲面的可展条件3

1.1.2 三角域上二次Bézier函数曲面的可展条件4

1.1.3 矩形域上n×m次Bézier函数曲面的可展条件5

1.2 可展参数曲面7

1.2.1 三角域上n次B-B参数曲面的可展条件7

1.2.2 三角域上二次B-B参数曲面的可展条件9

1.2.3 矩形域上n×m次B-B参数曲面的可展条件11

1.3 可展代数曲面12

1.3.1 n次代数曲面的可展条件13

1.3.2 二次代数曲面的可展条件15

1.3.3 可展代数曲面的工程应用16

1.4 利用过定曲线的曲面束设计可展曲面17

1.4.1 定曲线为一般空间曲线17

1.4.2 定曲线为曲面上等参测地线19

主要文献20

参考文献21

第二章 极小曲面及调和曲面的表示与计算23

2.1 调和与双调和Bézier曲面24

2.1.1 调和Bézier曲面的构造方法及证明24

2.1.2 双调和Bézier曲面的构造方法及证明26

2.2 r调和与基于高阶PDE的Bézier曲面30

2.2.1 三调和Bézier曲面的构造方法及证明30

2.2.2 r调和Bézier曲面的构造36

2.2.3 基于高阶PDE的Bézier曲面38

2.3 有理调和Bézier曲面与调和B样条曲面40

2.3.1 有理调和与有理双调和Bézier曲面40

2.3.2 双三次调和B样条曲面40

2.4 有理极小Bézier曲面与极小B样条曲面47

2.5 以已知曲线为测地线或曲率线的双调和曲面或极小直纹面49

主要文献50

参考文献51

第三章 带三类特征线的曲面束设计与计算53

3.1 以已知曲线为公共测地线的一般参数曲面束54

3.1.1 问题的提出54

3.1.2 数模的构建55

3.2 带一条或两条公共测地线的有理或可展的参数曲面束57

3.2.1 带一条公共测地线的有理Bézier曲面束57

3.2.2 带一条公共测地线的有理可展Bézier曲面束60

3.2.3 带两条公共测地线的有理Bézier曲面束62

3.2.4 带两条公共测地线的可展Bézier曲面65

3.3 带一条公共曲率线的有理可展参数曲面束67

3.3.1 插值一条弧长参数曲线作为公共曲率线的可展曲面束67

3.3.2 插值一条一般参数曲线作为公共曲率线的可展曲面束69

3.3.3 以Bézier曲线为公共曲率线的有理Bézier可展曲面束70

3.4 带一条或两条公共渐近线的参数曲面束71

3.4.1 带一条公共渐近线的可展或有理可展的曲面束71

3.4.2 以两条已知正交曲线为公共渐近线的参数曲面束73

主要文献78

参考文献78

第四章 保形插值曲线曲面的生成与曲率单调曲线的计算81

4.1 曲线曲面的奇异混合样条插值及其形状控制83

4.1.1 非均匀α-B样条插值曲线的构造83

4.1.2 插值曲线的连续阶控制与柔性控制85

4.1.3 非均匀α-B样条插值曲面的构造及其连续阶控制与柔性控制86

4.2 平面B样条曲线的奇异混合保形插值87

4.2.1 平面α-B样条曲线的保单调插值87

4.2.2 平面α-B样条曲线的保凸插值90

4.3 平面三角／双曲B样条曲线的奇异混合保形插值94

4.3.1 平面α-三角B样条曲线保形插值的技术要点94

4.3.2 平面α-双曲B样条曲线保形插值的技术要点95

4.4 平面有理B样条曲线的曲率单调判定法则96

4.4.1 Marsden恒等式往多个B样条函数的推广96

4.4.2 多个B样条函数化积为和99

4.4.3 平面三次均匀有理B样条曲率单调的充分条件101

4.5 三次双曲-Bézier曲线的形状控制103

主要文献105

参考文献105

第五章 特殊曲线曲面的拼接计算108

5.1 构造C-Bézier螺线作为公路线形设计中的拼接曲线109

5.1.1 用C-B螺线实现直线到圆弧或圆弧到圆弧的五种过渡109

5.1.2 用曲率单调或其极值点唯一的单段C-B螺线实现圆弧间的两种过渡110

5.2 把绕角点的三角片组拼接成一张光滑的伞形封闭曲面113

5.2.1 二元函数的混合方向导数新概念及其在坐标变换下的性质113

5.2.2 三次Bézier三角片组的C1连续拼接114

主要文献118

参考文献118

第六章 有理圆锥曲线的表示与计算120

6.1 有理二次圆锥曲线及各类弧段的逆映射公式121

6.2 有理三次圆锥曲线及各类弧段的逆映射公式与应用124

6.3 圆锥曲线有理四次Bézier表示的充要条件、分类条件与应用128

6.3.1 可降阶的有理四次圆锥曲线128

6.3.2 可不适当参数化的有理四次圆锥曲线130

6.3.3 有理四次圆锥曲线的分类条件、判别准则与设计132

6.4 有理圆弧及有理圆锥曲线的各类新基表示136

6.4.1 有理三次圆弧的广义Ball与DP-NTP基表示136

6.4.2 有理三次与四次圆锥曲线的DP-NTP基表示137

主要文献141

参考文献141

第七章 由广义Ball基与DP全正基生成的曲线曲面与计算143

7.1 新老广义Ball曲线曲面的基转换矩阵及其应用144

7.1.1 Bézier曲线到Wang-Ball曲线的转换矩阵及应用144

7.1.2 Bézier曲面到两类新的广义Ball曲面的转换矩阵及应用147

7.2 新的广义Ball曲线的对偶基及其应用151

7.3 DP-NTP基与均匀B样条基的显式转换及应用153

7.4 带有形状参数的DP-NTP曲线155

7.5 张量积DP曲面的构造、与Bézier曲面的相互转换及应用157

7.6 基函数次数呈倒金字塔形的三角DP曲面160

7.7 一类新的广义Bézier曲线和曲面163

主要文献164

参考文献164

第八章 有理曲线曲面的导矢界计算166

8.1 基于恒等式演化与不等式缩放的有理曲线曲面各低阶导矢界169

8.1.1 利用不等式技巧，求证有理三次曲线导矢界的Hermann猜想169

8.1.2 利用升阶磨光与基函数乘积分解，求有理曲线导矢界170

8.1.3 利用齐次方向函数的不等式，求有理曲线曲面的二、三阶导矢界172

8.2 基于差分算子与齐次方向函数的有理三角曲面偏导矢界176

8.3 基于重新参数化技术与不变量的有理曲线曲面导矢界180

8.3.1 利用线性规划方法，求有理张量积曲面与有理三角曲面的偏导矢界180

8.3.2 利用不变量，求最小化有理曲线曲面权因子最大比的显式解182

8.4 基于B样条函数多重乘积公式的NURBS曲线曲面导矢界190

8.4.1 NURBS曲线的速端曲线与导矢界190

8.4.2 NURBS曲面的速端曲面与偏导矢界191

主要文献192

参考文献192

第九章 曲线的参数优化计算与精度可控的逆向工程新方法194

9.1 曲线的最优参数化197

9.1.1 有理二次Bézier曲线的最优参数化197

9.1.2 复有理一次Bézier曲线的最优参数化198

9.1.3 曲线曲面拟合中型值点参数的最优化200

9.2 曲线的弦长参数化201

9.2.1 有理Bézier曲线的最优近似弦长参数化201

9.2.2 基于多重“M？bius-细分”变换的Bézier曲线的弦长参数化逼近203

9.2.3 复有理低次Bézier曲线的弦长参数化206

9.3 利用区间B样条由带状点云重建曲线207

9.3.1 计算带状点云的中心点序列208

9.3.2 计算包围带状点云的区间B样条曲线209

9.4 精度可控的逆向工程新方法210

9.4.1 用点云内在性质驱动网格重建210

9.4.2 基于稳态温度场的网格参数化213

主要文献218

参考文献219

第十章 几何值域计算和隐式曲线曲面绘制中的区间算术与仿射算术222

10.1 矩阵形式的修正仿射算术及应用224

10.2 张量形式的修正仿射算术及应用226

10.3 逐点绘制平面代数曲线的各种区间方法的比较229

10.3.1 九种区间方法的原理剖析对比及公式整理229

10.3.2 九种区间方法的绘图试验对比及最后结论232

10.4 逐点绘制隐式或代数曲线曲面的递归Taylor方法232

10.4.1 逐点绘制隐式曲线曲面的Taylor方法232

10.4.2 逐点绘制代数曲线曲面的递归Taylor方法234

10.5 多项式快速求根的三次clipping方法235

10.5.1 三次clipping与降阶clipping的算法235

10.5.2 k（k＝2,3，…）次clipping的收敛速度237

主要文献238

参考文献238

几何逼近242

第十一章 曲线曲面的等距逼近242

11.1 基于参数速度逼近的等距曲线有理逼近243

11.1.1 Bézier曲线的参数速度的两类代数逼近243

11.1.2 Bézier曲线的等距有理逼近245

11.1.3 有理Bézier曲线的等距有理逼近245

11.2 基于基圆任意阶有理逼近的等距曲线有理逼近246

11.2.1 对圆弧幂级数展开的有理逼近246

11.2.2 利用基圆有理逼近对有理Bézier曲线作等距有理逼近248

11.3 基于基圆重新参数化的等距曲线逼近249

11.3.1 参数变换新公式的导出与等距逼近的实施249

11.3.2 基圆重新参数化的等距逼近的精密误差界250

11.4 基于圆域Bézier曲线的等距逼近253

11.4.1 应用Remez算法构造圆域Bézier曲线的中心曲线254

11.4.2 提出上控最佳一致逼近原理构造圆域Bézier曲线的误差半径函数254

11.5 基于向量值Padé逼近算法改进的等距逼近255

11.6 利用升阶矩阵表示曲面之间的L2距离256

11.6.1 有理Bézier曲面之间的L2距离257

11.6.2 有理Bézier曲面多项式逼近的误差度量258

11.6.3 非均匀有理B样条曲线／曲面之间的L2距离259

11.7 带符号的三维欧氏距离变换及其应用260

主要文献261

参考文献261

第十二章 曲线曲面的降阶逼近264

12.1 Bézier曲线的显式约束降多阶266

12.1.1 显式约束降多阶的矩阵形式266

12.1.2 显式约束降多阶的积分形式270

12.2 有理Bézier曲线的显式约束降多阶271

12.3 B？ZIER曲面的显式约束降多阶272

12.3.1 不带角点及边界曲线约束的曲面显式最佳降多阶273

12.3.2 带角点及边界曲线约束的曲面显式降多阶274

12.4 三角Bézier曲面的显式约束降多阶279

12.4.1 无角点约束的三角曲面降多阶281

12.4.2 带角点约束的三角曲面降多阶283

12.5 NURBS曲线曲面的显式降多阶286

12.6 圆域Bézier曲线的降多阶286

主要文献287

参考文献288

第十三章 曲线曲面的细分逼近290

13.1 半静态细分292

13.1.1 生成α-曲线的细分算子及其性质292

13.1.2 Doo-Sabin型的半静态细分规则294

13.1.3 Catmull-Clark型的半静态细分规则296

13.2 半静态回插细分298

13.2.1 半静态回插细分曲线298

13.2.2 半静态回插细分曲面299

13.3 实现曲线插值的细分300

13.3.1 基于Catmull-Clark细分的曲线插值300

13.3.2 基于非均匀Catmull-Clark细分的曲线插值303

13.4 基于？细分曲面的渐进插值与带权渐进插值305

13.4.1 渐进插值的算法描述与收敛性证明305

13.4.2 带权渐进插值算法与合适权值指定307

主要文献308

参考文献308

第十四章 曲线曲面的线性逼近312

14.1 有理Bézier曲线用插值直线段逼近的紧上界315

14.1.1 任意次有理Bézier曲线的高度的改进估计315

14.1.2 低次有理Bézier曲线的高度的更精密估计318

14.2 Bernstein多项式用两类插值平面多边形逼近的紧上界320

14.2.1 用拟控制多边形来逼近的最小包围域320

14.2.2 用割角多边形来逼近的最小包围域326

14.3 三角参数曲面用插值平面片逼近的紧上界328

14.4 有理三角曲面用插值平面片逼近的界估计及化平准则331

14.4.1 二次三角B-B函数曲面的准确高度331

14.4.2 有理三角B-B函数曲面的高度估计333

14.4.3 有理三角B-B参数曲面的离散化平的终判准则334

主要文献335

参考文献335

第十五章 曲线曲面的合并逼近337

15.1 曲线近似合并的矩阵表示337

15.1.1 相邻Bézier曲线精确合并条件的矩阵表示337

15.1.2 带（无）端点约束的多段异次相邻Bézier曲线合并的矩阵表示339

15.2 曲线近似合并的区间表示340

15.2.1 相邻平面Bézier曲线区间式合并的上下边界曲线340

15.2.2 相邻平面有理Bézier曲线区间式合并的中心曲线和误差曲线341

15.3 其他形式的合并逼近343

主要文献344

参考文献344

第十六章 曲线曲面的渐进迭代逼近346

16.1 非均匀三次B样条曲线的渐进迭代逼近348

16.1.1 渐进迭代格式的导出与收敛性348

16.1.2 渐进迭代曲线的保凸性350

16.2 非均匀三次B样条张量积曲面的渐进迭代逼近351

16.3 全正基所生成的参数曲线曲面的渐进迭代逼近353

16.3.1 全正基调配曲线的渐进迭代逼近353

16.3.2 全正基调配曲面的渐进迭代逼近355

16.3.3 NURBS曲线曲面的渐进迭代逼近356

16.4 三角Bézier曲面的渐进迭代逼近357

16.5 渐进迭代逼近的矩阵显式表示360

16.6 参数曲线的带权局部渐进迭代逼近362

16.7 非全正调配基的渐进迭代逼近收敛条件364

16.7.1 剖析渐进迭代逼近的收敛本质364

16.7.2 诱导关于非全正调配基的收敛条件364

主要文献366

参考文献366

第十七章 有理曲线曲面及其导矢的多项式逼近368

17.1 同时考虑约束降阶逼近的有理曲线约束多项式逼近370

17.1.1 设定降阶曲线权因子的情形371

17.1.2 不设定降阶曲线权因子的情形下采用最速下降法374

17.1.3 不设定降阶曲线权因子的情形下采用BFGS迭代法375

17.2 同时考虑约束降阶逼近的有理曲面约束多项式逼近376

17.2.1 标准的约束多项式逼近377

17.2.2 边界优先的约束多项式逼近379

17.3 有理三角曲面及其导矢的基于升阶控制顶点的多项式逼近381

17.3.1 有理三角Bézier曲面相关量的估值性质381

17.3.2 有理三角Bézier曲面多项式逼近的分析性质383

17.4 有理三角曲面的基于Hybrid表示的多项式逼近385

17.5 有理曲线任意阶导矢的Hybrid多项式逼近的收敛性385

17.5.1 有理Bézier曲线的高阶导矢界估计386

17.5.2 Bernstein基函数B2s s（t）的高阶导数界估计387

17.5.3 有理Bézier曲线与Hybrid多项式逼近曲线的高阶导矢差的界估计388

主要文献389

参考文献390

第十八章 几类特殊曲线的插值与逼近392

18.1 带参数组的二元有理三次样条插值392

18.2 PH曲线族的插值及PH曲线之渐开线族的螺线插值393

18.2.1 带几何参数的三次PH曲线族的插值与逼近393

18.2.2 四次PH曲线之渐开线族的几何Hermite螺线插值395

18.3 曲面上的插值曲线及积分曲率线396

18.3.1 光滑曲面上的G1插值曲线396

18.3.2 NURBS曲面上的B样条积分曲率线398

18.4 基于圆域B样条表示的手绘艺术图形的形状插值400

18.5 用三次LN曲线逼近Bézier曲线402

18.6 卷积曲线、对数螺线与球域曲面边界的逼近404

18.6.1 两条相容圆锥曲线之卷积曲线的双圆弧逼近404

18.6.2 对数螺线的s-power逼近与C-Bézier逼近405

18.6.3 球域Bézier曲面的精确边界及其多项式逼近407

18.7 Bézier曲线曲面带G1端点约束的Ribs/Farns分解与重构408

主要文献409

参考文献410

几何处理413

第十九章 网格测地线与几何结构的计算413

19.1 对离散测地问题的CH算法的重大改进415

19.1.1 预备知识提要及前人工作述评415

19.1.2 XW算法的思路、步骤与效果概述417

19.1.3 窗元过滤定理419

19.1.4 维护优先队列420

19.2 XW算法的后继研究——多面体最短路径的几个新算法421

19.2.1 基于FMM求解“单源多终点”离散测地问题的近似算法421

19.2.2 由XW算法诱导的求解“单源多终点”离散测地问题的近似算法423

19.2.3 基于可视性求解“单源单终点”离散测地问题的有限迭代算法424

19.3 XW算法的应用——多种版本的离散测地问题求解425

19.3.1 源点到三角片上定点的测地距离估计425

19.3.2 “单源单终点”的精确最短路径的启发式算法426

19.3.3 “多源点”的测地等距线、测地Voronoi图与测地Delauny三角化427

19.4 有效地维持动态有序集的新方法429

19.5 二维Voronoi图的平行计算及测地Delaunay三角化的应用431

主要文献432

参考文献432

第二十章 三角网格的生成与优化435

20.1 Delaunay三角剖分的谱性质435

20.1.1 平面Delaunay三角剖分及其性质435

20.1.2 Dirichlet能量436

20.1.3 Delaunay谱定理438

20.2 全局Laplace网格光顺与优化440

20.2.1 目标能量函数440

20.2.2 顶点约束441

20.2.3 问题的求解442

20.2.4 试验实例443

20.3 基于顶点流动的网格优化443

20.3.1 目标函数443

20.3.2 能量项444

20.3.3 问题的求解445

20.3.4 试验实例445

20.4 自适应选取权的网格光顺与优化446

20.4.1 严格顶点约束的全局网格优化446

20.4.2 近插值求解方法447

20.4.3 加权最小二乘的保特征网格优化448

主要文献448

参考文献448

第二十一章 蓝噪声采样450

21.1 基于容量约束的Delaunay三角化的蓝噪采样方法451

21.1.1 均匀CCDT算法452

21.1.2 非均匀CCDT算法453

21.1.3 蓝噪特性和蓝噪频谱455

21.1.4 应用：二元半调图457

21.1.5 算法复杂度458

21.2 曲面上的蓝噪采样方法458

21.2.1 容量约束的曲面三角化（CCST）459

21.2.2 非均匀采样的CCST算法460

21.2.3 算法分析461

21.3 基于变分的蓝噪采样方法462

21.3.1 变分能量模型463

21.3.2 基于变分的曲面上的蓝噪采样465

21.3.3 基于变分的多类蓝噪采样466

主要文献466

参考文献467

第二十二章 网格参数化469

22.1 平面参数化469

22.1.1 从局部到整体的策略470

22.1.2 尽可能保角度的参数化471

22.1.3 尽可能保面积的参数化473

22.1.4 尽可能保形状的参数化474

22.2 无网格参数化475

22.2.1 从局部到整体的策略475

22.2.2 局部邻域展开476

22.2.3 整体邻域对齐477

22.2.4 曲面重建479

22.3 相容参数化479

22.3.1 平面网格的嵌入问题479

22.3.2 流形参数化484

22.3.3 分块的相容参数化486

22.4 图网络参数化487

22.4.1 问题的描述487

22.4.2 从局部到整体的策略488

22.4.3 实例与比较490

主要文献492

参考文献492

第二十三章 几何重建与编辑495

23.1 由点云重建管状物体495

23.1.1 管状物体的初始部分提取496

23.1.2 管状物体的拓扑结构提取497

23.1.3 管状物体的几何拟合497

23.1.4 实验结果及讨论498

23.2.1 由深度点云重建人体模型498

23.2.1 利用Kinect的三维人体扫描重建498

23.2.2 非刚体配准算法500

23.3 由照片重建几何物体502

23.3.1 图像启发的数据驱动几何建模502

23.3.2 图像驱动的网格风格化形状变形506

23.4 曲面编辑509

23.4.1 对偶Laplace网格编辑法509

23.4.2 保特征的网格形变算法514

主要文献516

参考文献516

第二十四章 三维形状的语义分割518

24.1 前景背景交互式形状分割519

24.1.1 基于区域增长的方法520

24.1.2 基于调和场的方法521

24.1.3 基于前景背景的交互式形状分割技术评估523

24.2 前景交互式形状分割526

24.2.1 基于图分割的优化算法526

24.2.2 渐进式分割算法528

24.3 边界交互式形状分割528

24.3.1 自适应采样529

24.3.2 标量场530

24.3.3 分割边界计算530

24.4 各种交互式分割的比较531

24.4.1 评估设置532

24.4.2 客观数据分析533

24.4.3 主观数据分析533

24.5 多个形状的联合分割535

24.5.1 子空间聚类535

24.5.2 算法536

主要文献538

参考文献539

第二十五章 形状分析与理解541

25.1 三维形状的局部内蕴反射对称检测与分析541

25.1.1 局部内蕴反射对称检测541

25.1.2 对称点对过滤方法542

25.1.3 多尺度局部内蕴对称检测544

25.2 人造物体的对称层次分析545

25.2.1 模型预处理与部件关系图的构建545

25.2.2 对称层次结构的构建546

25.2.3 实验结果547

25.3 人造物模型直立方向的检测与分析548

25.3.1 将模型与坐标轴对齐549

25.3.2 最终直立方向的选取552

25.3.3 实验结果552

25.4 三维形状显著度检测的全局方法552

25.4.1 视觉显著度原则553

25.4.2 局部显著度553

25.4.3 整体稀少性度量554

25.5 几何曲线：一种三维形状的紧致表达方式555

25.5.1 几何曲线表达555

25.5.2 从3D形状构建几何曲线556

25.5.3 从几何曲线重建3D形状556

25.5.4 实验结果557

25.6 特征对齐的三维形状纹理合成558

25.6.1 曲线导引的曲面向量场生成558

25.6.2 特征对齐的纹理优化559

25.6.3 实验结果和讨论559

主要文献560

参考文献561

第二十六章 几何驱动的图像处理563

26.1 基于网格非均匀变形的图像缩放563

26.1.1 基于二次规划的内容敏感的图像缩放算法563

26.1.2 基于非均匀优化的内容保持的实时图像缩放算法566

26.2 优化构图的图像缩放568

26.2.1 构图基本准则569

26.2.2 构图美学度量计算569

26.2.3 构图美学优化571

26.3 基于网格变形的图像编辑和可视化572

26.3.1 基于自适应网格变形的图像编辑算法572

26.3.2 基于内容的Focus+Context可视化技术576

26.4 基于语义参数的人体图像变形577

26.4.1 方法概述577

26.4.2 SCAPE建模流程578

26.4.3 视角相关的模型和图像融合579

26.4.4 身体感知的图像变形580

26.4.5 试验结果和讨论581

26.5 基于图优化的线画图的动画生成582

26.5.1 问题分析582

26.5.2 方法概述583

26.5.3 绘图顺序法则583

主要文献585

参考文献585