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第一部分1

第1章 数、函数与图形1

1.1 引言1

1.2 数轴与坐标平面 毕达哥拉斯2

1.3 直线的斜率和方程11

1.4 圆与抛物线 笛卡儿和费马15

1.5 函数的概念22

1.6 函数的图形30

1.7 三角函数的引入 函数sinθ和cosθ37

复习小结：定义、概念及方法46

附加问题47

第2章 函数的导数51

2.1 什么是微积分 切线问题51

2.2 如何计算切线的斜率53

2.3 导数的定义58

2.4 速度与变化率 牛顿和莱布尼茨62

2.5 极限的概念 两个三角函数的极限68

2.6 连续函数 中值定理和其他定理74

复习小结：定义、概念及方法81

附加问题81

第3章 导数的运算83

3.1 多项式函数的导数83

3.2 函数积、商的求导法则88

3.3 复合函数求导和链式法则92

3.4 一些三角函数的导数98

3.5 隐函数和分数指数函数的求导102

3.6 高阶导数107

复习小结：概念、公式及方法111

附加问题111

第4章 导数的应用115

4.1 递增函数与递减函数 最大值与最小值115

4.2 凹性与拐点120

4.3 最大值和最小值问题的应用123

4.4 更多最大／最小值问题 光的反射与折射131

4.5 复合函数的变化率139

4.6 牛顿法解方程143

4.7 （选学）经济学上的应用 边际分析法146

复习小结：概念及方法156

附加问题156

第5章 不定积分和微分方程163

5.1 引言163

5.2 微分与切线逼近163

5.3 不定积分 换元积分法170

5.4 微分方程 分离变量法178

5.5 重力作用下的运动 逃逸速度和黑洞181

复习小结：概念及方法188

附加问题188

第6章 定积分190

6.1 引言190

6.2 面积问题191

6.3 “∑”符号与某些特殊求和194

6.4 曲线下的面积 定积分 黎曼197

6.5 极限思想下的面积计算203

6.6 微积分基本定理206

6.7 定积分的性质213

复习小结：概念及方法217

附加问题217

附录：希波克拉底拱形218

第7章 定积分的应用221

7.1 引言：定积分的直观含义221

7.2 两条曲线之间的面积222

7.3 体积计算1：圆盘法225

7.4 体积计算2：圆柱壳法231

7.5 弧长236

7.6 旋转曲面的面积240

7.7 功和能244

7.8 流体静力学252

复习小结：概念与方法254

附加问题254

附录：阿基米德与球体体积257

第二部分260

第8章 指数函数与对数函数260

8.1 引言260

8.2 指数与对数的回顾261

8.3 数e和函数y＝ex264

8.4 自然对数函数y＝lnx欧拉269

8.5 应用人口增长和放射性衰变277

8.6 更多应用——控制人口增长等283

复习小结：概念及公式287

附加问题288

第9章 三角函数292

9.1 三角函数的回顾292

9.2 正弦和余弦函数的导数301

9.3 正弦和余弦函数的积分 蒲丰投针问题306

9.4 其他四个三角函数的导数310

9.5 反三角函数313

9.6 简谐运动 钟摆问题319

9.7 （选学）双曲函数324

复习小结：定义及公式330

附加问题330

第10章 积分法334

10.1 简介 基本公式334

10.2 换元法337

10.3 三角函数的积分340

10.4 三角换元法344

10.5 完全平方法348

10.6 部分分式法351

10.7 分部积分法357

10.8 综合法 处理复杂类型的积分策略362

10.9 数值积分 辛普森法则369

复习小结：公式及方法375

附加问题375

附录1：悬链线或悬挂链曲线378

附录2：沃利斯乘积：π/2=2/1·2/3·4/3·4/5·6/5·6/7…380

附录3：莱布尼茨如何发现公式π/4=1-1/3+1/5-1/7+…382

第11章 积分的进一步应用384

11.1 离散系统的质心384

11.2 形心386

11.3 帕普斯定理391

11.4 惯性矩393

复习小结：定义及概念396

附加问题396

第12章 不定式和反常积分398

12.1 简介 中值定理的回顾398

12.2 “0/0”型不定式：洛必达法则400

12.3 其他类型的不定式404

12.4 反常积分409

12.5 正态分布 高斯414

复习小结：定义及概念424

附加问题424

第13章 常数项无穷级数427

13.1 什么是无穷级数427

13.2 收敛数列432

13.3 收敛和发散级数439

13.4 收敛级数的一般性质445

13.5 正项级数 比较判别法451

13.6 积分判别法 欧拉常数455

13.7 比值判别法和根值判别法461

13.8 交错级数的判别 绝对收敛465

复习小结：定义、概念及判别法470

附加问题470

附录1：欧拉发现公式？1/n2=π2/6476

附录2：更多关于无理数的问题：证明π为无理数478

附录3：关于级数∑1/pn，其中Pn为素数480

第14章 幂级数483

14.1 引言483

14.2 收敛区间484

14.3 幂级数的微分与积分489

14.4 泰勒级数和泰勒公式494

14.5 应用泰勒公式的计算504

14.6 微分方程的应用509

14.7 （选学）幂级数的运算514

14.8 （选学）复数和欧拉公式521

复习小结：定义、公式及方法523

附加问题523

附录：伯努利数和欧拉的一些美妙的发现525

第三部分529

第15章 圆锥曲线529

15.1 引言 圆锥截面529

15.2 重新审视圆与抛物线531

15.3 椭圆535

15.4 双曲线543

15.5 焦点-准线-偏心的定义550

15.6 （选学）二次方程 绕坐标轴旋转552

复习小结：定义及性质557

附加问题558

第16章 极坐标560

16.1 极坐标系560

16.2 极坐标方程的更多图像564

16.3 圆、圆锥曲线和螺旋线的极坐标方程569

16.4 弧长和切线575

16.5 极坐标中的面积580

复习小结：定义及公式583

附加问题583

第17章 参数方程及平面内的向量586

17.1 曲线的参数方程586

17.2 摆线和其他类似曲线592

17.3 向量代数 单位向量i和j600

17.4 向量函数的导数 速度和加速度605

17.5 曲率和单位法向量611

17.6 加速度的切分量和法分量615

17.7 开普勒定律和牛顿的万有引力定律619

复习小结：定义及公式627

附加问题627

附录1：最速降线问题的伯努利解法629

第18章 三维空间的向量与曲面632

18.1 三维空间的坐标和向量632

18.2 两个向量的标量积636

18.3 两个向量的向量积640

18.4 直线和平面646

18.5 圆柱和旋转曲面653

18.6 二次曲面656

18.7 圆柱坐标和球面坐标661

复习小结：定义及方程664

第19章 偏导数665

19.1 多元函数665

19.2 偏导数669

19.3 曲面的切平面675

19.4 增量和微分 基本引理679

19.5 方向导数和梯度681

19.6 偏导数的链式法则686

19.7 最大值和最小值问题692

19.8 条件极值 拉格朗日乘数法696

19.9 （选学）拉普拉斯方程、热传导方程和波动方程 拉普拉斯和傅里叶702

19.10 （选学）隐函数708

复习小结：定义及方法713

第20章 重积分714

20.1 累次积分-体积714

20.2 二重积分和累次积分718

20.3 二重积分的物理应用722

20.4 极坐标下的二重积分726

20.5 三重积分731

20.6 圆柱坐标736

20.7 球面坐标 万有引力定律739

20.8 曲面面积 勒让德公式744

复习小结：方法和公式748

附录：欧拉公式？1/n2=π2/6的二重积分证明748

第21章 曲线积分和曲面积分 格林公式高斯公式和斯托克斯公式751

21.1 平面上的曲线积分751

21.2 与路径无关：保守场758

21.3 格林公式764

21.4 曲面积分与高斯公式771

21.5 斯托克斯公式778

21.6 麦克斯韦方程组 终极思考784

复习小结：概念及定理786

附录787

A 微积分定理787

A.1 实数系787

A.2 极限定理791

A.3 连续函数的一些延伸性质796

A.4 中值定理800

A.5 连续函数的积分804

A.6 微积分基本定理的另一种证明808

A.7 无长度的连续曲线808

A.8 e=？(1+h)1/h的存在性811

A.9 不可积函数812

A.10 反代换积分的有效性817

A.11 部分分式分解定理的证明818

A.12 拉贝和高斯的比值判别法821

A.13 绝对收敛和条件收敛825

A.14 狄利克雷判别法 狄利克雷830

A.15 幂级数的一致收敛834

A.16 幂级数的除法836

A.17 混合偏导数的相等性837

A.18 带积分符号的微分法838

A.19 基本引理的证明839

A.20 隐函数定理的证明840

A.21 重积分的变量代换 雅可比矩阵841

B 回顾一些知识845

B.1 二项式定理845

B.2 数学归纳法849

解答856

索引876