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第1章 行列式1

1.1 从货物交换和费用分摊问题谈起1

1.1.1 货物交换的经济模型1

1.1.2 费用分摊问题2

1.2 行列式的概念4

1.2.1 二阶、三阶行列式4

1.2.2 全排列及其逆序数6

1.2.3 n阶行列式的定义7

1.3 行列式的性质11

1.4 行列式的展开法则14

1.5 行列式的计算18

1.6 行列式应用软件介绍23

习题126

第2章 矩阵33

2.1 从一些经济问题的表述谈起33

2.1.1 运输问题的矩阵表述33

2.1.2 商品价格及销售量的矩阵表述33

2.1.3 对策论中局中人收益的矩阵表述34

2.2 矩阵的概念34

2.2.1 矩阵34

2.2.2 几种特殊矩阵35

2.2.3 关于数域的说明37

2.3 矩阵的运算37

2.3.1 矩阵的加法运算37

2.3.2 数乘运算38

2.3.3 矩阵的乘法运算39

2.3.4 方阵的幂运算42

2.3.5 方阵的行列式运算44

2.3.6 矩阵的转置运算44

2.3.7 矩阵的共轭46

2.4 方阵的逆矩阵46

2.4.1 逆矩阵的基本概念46

2.4.2 方阵可逆的条件及逆阵的性质47

2.5 分块矩阵52

2.5.1 分块矩阵的加法与数乘运算52

2.5.2 乘法运算53

2.5.3 分块矩阵的转置运算55

2.5.4 分块对角阵55

2.6 矩阵的初等变换56

2.7 初等矩阵与初等变换法求逆矩阵61

2.7.1 初等矩阵61

2.7.2 初等变换法求逆矩阵65

2.8 矩阵的秩67

2.8.1 概念及性质67

2.8.2 矩阵秩的求解68

2.9 矩阵运算的软件介绍72

习题278

第3章 线性方程组88

3.1 从一个经济生活问题谈起88

3.2 解线性方程组的Cramer法则90

3.3 解线性方程组的消元法95

3.3.1 消元法96

3.3.2 线性方程组解的判别定理98

3.4 n维向量及其运算102

3.4.1 n维向量的概念102

3.4.2 向量的线性运算103

3.4.3 向量的内积、长度、距离与夹角105

3.4.4 向量的正交108

3.5 向量的线性相关性109

3.5.1 线性表示109

3.5.2 线性相关与线性无关111

3.6 向量组的秩116

3.6.1 向量组的秩116

3.6.2 再论矩阵的秩119

3.6.3 正交向量组、施密特（schmidt）正交化124

3.7 线性方程组解的结构127

3.7.1 齐次线性方程组解的结构127

3.7.2 非齐次线性方程组解的结构131

3.8 求解线性方程组的软件介绍135

习题3138

第4章 矩阵的特征值与特征向量147

4.1 从一个投入产出模型谈起147

4.2 特征值与特征向量的概念与计算148

4.3 特征值与特征向量的性质152

4.4 矩阵的对角化154

4.4.1 相似矩阵及其性质154

4.4.2 矩阵对角化的条件155

4.4.3 矩阵对角化的实现158

4.4.4 实对称矩阵的对角化160

4.5 Jordan标准形简介163

4.6 求特征值和特征向量的软件介绍165

习题4167

第5章 二次型170

5.1 从利润最大化问题谈起170

5.2 二次型及其标准形171

5.2.1 二次型与其矩阵表示171

5.2.2 二次型的标准形173

5.3 化二次型为标准形175

5.3.1 用正交变换化二次型为标准形175

5.3.2 用满秩线性变换化二次型为标准形（配方法）177

5.3.3 用初等变换化二次型为标准形180

5.3.4 惯性定理183

5.4 二次型的有定及不定性186

5.4.1 正定二次型及正定矩阵186

5.4.2 二次型的有定性192

5.5 研究二次型的软件介绍194

习题5196

第6章 线性空间与线性变换199

6.1 线性空间的概念与性质199

6.1.1 定义与性质199

6.1.2 向量空间的例子200

6.1.3 线性空间的基本性质201

6.1.4 子空间201

6.2 线性空间的基与维数203

6.2.1 线性空间中向量的线性关系203

6.2.2 基与维数203

6.2.3 坐标变换公式205

6.3 线性变换的概念209

6.3.1 线性变换的定义及例子209

6.3.2 线性变换的性质211

6.4 线性变换的矩阵212

6.4.1 线性变换的矩阵212

6.4.2 线性变换与矩阵间的一一对应214

6.4.3 线性变换在不同基下的矩阵215

6.5 线性变换的运算218

6.5.1 线性变换的加法218

6.5.2 数乘线性变换219

6.5.3 线性变换的乘法219

习题6221

第7章 线性规划225

7.1 线性规划的数学模型225

7.1.1 问题的提出225

7.1.2 线性规划的数学模型227

7.1.3 线性规划模型解的基本概念229

7.2 线性规划问题的图解法230

7.3 线性规划问题的单纯形法233

7.3.1 基本定理233

7.3.2 单纯形方法236

7.3.3 单纯形表的矩阵形式242

7.3.4 二阶段法244

7.4 运输问题的表上作业法与图上作业法246

7.4.1 平衡运输问题的数学模型246

7.4.2 表上作业法247

7.4.3 图上作业法252

7.5 解决线性规划问题的软件介绍257

7.5.1 利用Mathematica求解线性规划问题257

7.5.2 利用Lindo软件求解线性规划问题258

习题7263

参考答案267

附录1 数学的作用和魅力282

附录2 回首线性代数288

附录3 21世纪专业人才的数学素养随想291

参考文献297