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第1章 群的基本概念1

1.1 对称1

1.2 群及其乘法表2

1.2.1 群的定义2

1.2.2 子群6

1.2.3 正N边形对称群6

1.2.4 置换群8

1.3 群的各种子集12

1.3.1 陪集和不变子群12

1.3.2 共轭元素和类15

1.3.3 群的同态关系18

1.3.4 群的直接乘积20

1.4 正四面体和立方体对称变换群22

习题124

第2章 群的线性表示理论26

2.1 群的线性表示26

2.1.1 线性表示的定义26

2.1.2 群代数和有限群的正则表示27

2.1.3 类算符30

2.2 标量函数的变换算符31

2.3 等价表示和表示的幺正性36

2.3.1 等价表示36

2.3.2 表示的幺正性37

2.4 有限群的不等价不可约表示38

2.4.1 不可约表示38

2.4.2 舒尔定理39

2.4.3 正交关系40

2.4.4 表示的完备性43

2.4.5 有限群不可约表示的特征标表45

2.4.6 自共轭表示和实表示47

2.5 分导表示、诱导表示及其应用47

2.5.1 分导表示和诱导表示47

2.5.2 D2n＋1群的不可约表示48

2.5.3 D2n群的不可约表示49

2.6 物理应用50

2.6.1 定态波函数按对称群表示分类50

2.6.2 克莱布什-戈登级数和系数53

2.6.3 维格纳-埃伽定理54

2.6.4 正则简并和偶然简并55

2.7 有限群群代数的不可约基57

2.7.1 D3群的不可约基57

2.7.2 O群和T群的不可约基58

习题260

第3章 置换群的不等价不可约表示62

3.1 原始幂等元和杨算符62

3.1.1 理想和幂等元62

3.1.2 原始幂等元的性质64

3.1.3 杨图、杨表和杨算符66

3.1.4 杨算符的基本对称性质70

3.1.5 置换群群代数的原始幂等元72

3.2 杨图方法和置换群不可约表示79

3.2.1 置换群不可约表示的表示矩阵79

3.2.2 计算特征标的等效方法82

3.2.3 不可约表示的实正交形式83

3.3 置换群不可约表示的内积和外积85

3.3.1 置换群不可约表示的直乘分解85

3.3.2 置换群不可约表示的外积86

3.3.3 Sn＋m群的分导表示89

习题389

第4章 三维转动群和李代数基本知识91

4.1 三维空间转动变换群91

4.2 李群的基本概念95

4.2.1 李群的组合函数95

4.2.2 李群的局域性质96

4.2.3 生成元和微量算符97

4.2.4 李群的整体性质98

4.3 三维转动群的覆盖群101

4.3.1 二维幺模幺正矩阵群101

4.3.2 覆盖群102

4.3.3 群上的积分105

4.3.4 SU（2）群群上的积分107

4.4 SU（2）群的不等价不可约表示109

4.4.1 欧拉角109

4.4.2 SU（2）群的线性表示112

4.4.3 O（3）群的不等价不可约表示116

4.4.4 球函数和球谐多项式116

4.5 李氏定理120

4.5.1 李氏第一定理121

4.5.2 李氏第二定理123

4.5.3 李氏第三定理124

4.5.4 李群的伴随表示125

4.5.5 李代数126

4.6 半单李代数的正则形式127

4.6.1 基林型和嘉当判据127

4.6.2 半单李代数的分类129

4.7 张量场和旋量场135

4.7.1 矢量场和张量场135

4.7.2 旋量场139

4.7.3 总角动量算符及其本征函数140

习题4142

第5章 单纯李代数的不可约表示144

5.1 李代数不可约表示的性质144

5.1.1 表示和权144

5.1.2 权链和外尔反射145

5.1.3 最高权表示146

5.1.4 基本主权148

5.1.5 卡西米尔不变量和伴随表示149

5.1.6 谢瓦莱基150

5.2 盖尔范德方法及其推广151

5.2.1 方块权图方法151

5.2.2 盖尔范德基153

5.2.3 A2李代数的最高权表示156

5.2.4 推广的盖尔范德方法162

5.2.5 C3李代数的最高权表示164

5.2.6 B3李代数的最高权表示174

5.2.7 平面权图176

5.3 直乘表示的约化178

5.3.1 克莱布什戈登系数178

5.3.2 克莱布什戈登级数180

5.3.3 主权图方法181

5.4 SU（N）群张量表示的约化187

5.4.1 SU（N）群张量空间的对称性187

5.4.2 张量子空间Jμ[λ]的张量基190

5.4.3 SU（N）群生成元的谢瓦莱基195

5.4.4 SU（N）群的不可约表示196

5.4.5 SU（N）群不可约表示的维数199

5.4.6 n个电子系统的反对称波函数200

5.4.7 张量的外积203

5.4.8 协变张量和逆变张量205

5.5 SO（N）群的不可约表示209

5.5.1 SO（N）群的张量209

5.5.2 SO（2？＋1）群生成元的谢瓦莱基212

5.5.3 SO（2？）群生成元的谢瓦莱基215

5.5.4 SO（N）群不可约张量表示的维数217

5.5.5 Γ矩阵群219

5.5.6 SO（N）群基本旋量表示及其不可约性224

5.5.7 SO（N）群的基本旋量227

5.5.8 SO（N）群无迹旋张量表示的维数229

5.6 SO（4）群和洛伦兹群231

5.6.1 SO（4）群不可约表示及其生成元232

5.6.2 洛伦兹群的性质235

5.6.3 固有洛伦兹群的群参数和不可约表示236

5.6.4 固有洛伦兹群的覆盖群239

5.6.5 固有洛伦兹群的类240

5.6.6 狄拉克旋量表示241

5.7 辛群的不可约表示243

5.7.1 酉辛群生成元的谢瓦莱基243

5.7.2 辛群不可约表示的维数248

习题5250

参考文献253

索引261