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第1章 函数和极限1

1.1从自然数到复数1

1.1.1实数1

1.1.2复数及其运算5

习题1-17

1.2函数的进一步知识8

1.2.1三角函数的补充8

1.2.2反三角函数10

1.2.3一些函数及其图像13

1.2.4初等函数14

习题1-215

1.3数列的极限16

1.3.1数列极限的引入16

1.3.2数列极限的定义17

1.3.3数列极限的存在性证明举例18

习题1-320

1.4数列极限的性质和运算法则21

1.4.1收敛数列的性质21

1.4.2收敛数列的四则运算22

1.4.3一个判定定理23

习题1-424

1.5数列极限存在性的判定25

1.5.1单调有界原理25

1.5.2子列27

1.5.3基本列和柯西收敛准则28

习题1-530

1.6函数的极限30

1.6.1函数极限30

1.6.2左极限和右极限33

1.6.3自变量趋于无穷大时函数的极限34

1.6.4总结35

习题1-636

1.7函数极限的性质36

习题1-740

1.8函数极限和数列极限的联系40

习题1-843

1.9无穷小和无穷大43

1.9.1无穷小及其性质43

1.9.2无穷小的比较44

1.9.3无穷大45

习题1-946

第2章 函数的连续性47

2.1连续函数47

2.1.1连续函数的定义47

2.1.2间断点的类型48

2.1.3初等函数的连续性50

2.1.4总结52

习题2-152

2.2闭区间上连续函数的性质53

习题2-255

第3章 导数和微分56

3.1导数56

3.1.1几个不同问题的相似处理方法56

3.1.2导数及其几何意义57

3.1.3求导举例58

3.1.4可导和连续的关系59

习题3-160

3.2基本求导方法60

3.2.1四则运算的求导60

3.2.2反函数的求导61

3.2.3复合函数求导63

3.2.4总结64

习题3-266

3.3高阶导数66

习题3-368

3.4其他求导69

3.4.1隐函数的求导69

3.4.2对数求导71

3.4.3参数方程求导72

3.4.4复值函数求导73

习题3-474

3.5微分75

3.5.1从另外一个角度看导数75

3.5.2微分和高阶微分75

3.5.3微分的运算法则77

习题3-578

第4章 微分中值定理和导数的应用79

4.1微分中值定理79

4.1.1函数的极值和罗尔定理79

4.1.2拉格朗日中值定理和柯西中值定理80

习题4-183

4.2洛必达法则84

习题4-288

4.3泰勒公式88

4.3.1运动学的一个例子88

4.3.2泰勒公式91

4.3.3几个常见函数的泰勒展开式93

习题4-395

4.4函数的几何特性95

4.4.1单调性95

4.4.2函数的极值和最值97

4.4.3函数的凹凸性和拐点100

4.4.4渐近线104

习题4-4105

第5章 不定积分107

5.1不定积分的基本概念107

5.1.1不定积分的定义107

5.1.2基本积分表108

5.1.3不定积分的性质108

习题5-1110

5.2不定积分的换元积分法110

5.2.1凑微分法110

5.2.2第二类换元法113

习题5-2115

5.3分部积分法116

习题5-3119

5.4有理函数的积分120

5.4.1有理函数的积分120

5.4.2三角函数有理式的积分121

5.4.3简单无理函数的积分122

习题5-4124

5.5积分表的使用124

习题5-5125

第6章 定积分127

6.1定积分的定义127

6.1.1定积分基本概念127

6.1.2定积分的存在性和性质128

习题6-1132

6.2定积分的计算133

6.2.1归结为数列的极限133

6.2.2积分上限函数及其性质134

习题6-2136

6.3分部积分和换元137

6.3.1分部积分公式137

6.3.2定积分的变量代换139

习题6-3141

6.4反常积分介绍141

6.4.1无限区间上的反常积分142

6.4.2无界函数的反常积分144

习题6-4145

6.5定积分的简单应用146

6.5.1在几何上的应用146

6.5.2在物理上的应用152

习题6-5154

习题参考答案与提示155

附录A积分表165

附录B希腊字母表175