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第一章 函数、极限与连续1

课标导航1

开篇案例1

第一节 函数2

一、函数的概念2

二、函数的性质5

三、反函数7

四、初等函数7

五、建立函数关系（实例）10

习题1-1 11

第二节 极限12

一、数列的极限13

二、函数的极限14

习题1-2 17

第三节 极限的运算17

一、极限的四则运算17

二、两个重要极限19

习题1-3 21

第四节 无穷小与无穷大22

一、无穷小22

二、无穷大23

三、无穷小的比较24

习题1-4 25

第五节 函数的连续性26

一、函数的连续性26

二、连续函数的运算31

三、闭区间上连续函数的性质32

习题1-5 34

复习题一34

知识梳理与链接37

第二章 导数与微分38

课标导航38

开篇案例38

第一节 导数的概念39

一、导数的定义39

二、导数的意义43

三、单侧导数44

四、可导与连续的关系45

习题2-1 45

第二节 导数的运算法则46

一、导数的四则运算法则46

二、反函数的导数47

三、导数基本公式49

四、复合函数求导法则49

习题2-2 50

第三节 几种特殊类型函数的求导51

一、隐函数求导法51

二、参数式函数求导法52

三、对数求导法53

四、恒等变形法求导54

习题2-3 54

第四节 高阶导数55

一、高阶导数55

二、由参数方程所确定的函数的高阶导数56

习题2-4 57

第五节 微分及其计算57

习题2-5 61

复习题二62

知识梳理与链接63

第三章 微分中值定理与导数的应用64

课标导航64

开篇案例64

第一节微分中值定理65

一、罗尔中值定理65

二、拉格朗日中值定理66

三、柯西中值定理67

习题3-1 68

第二节 罗必达法则68

一、未定型68

二、0/0型的极限69

三、∞/∞型的极限69

四、其它类型未定式的极限70

习题3-2 72

第三节 泰勒公式73

习题3-3 77

第四节 函数的性态及其描绘77

一、函数单调性77

二、函数的极值79

三、函数在闭区间上的最大值和最小值81

四、函数的凹凸性82

五、函数曲线的渐近线84

六、函数图形的描绘84

七、曲线的曲率86

习题3-4 90

复习题三91

知识梳理与链接92

第四章 不定积分93

课标导航93

开篇案例93

第一节 不定积分的概念及性质93

一、原函数93

二、不定积分94

三、不定积分的运算与性质95

四、基本积分公式96

五、直接积分法97

习题4-1 97

第二节 不定积分的换元积分法98

一、第一类换元积分法（凑微分法）98

二、第二类换元积分法（变量替换法）101

习题4-2 104

第三节 分部积分法105

习题4-3 109

第四节 几种特殊类型的函数积分110

一、有理函数的积分110

二、三角有理式的积分114

三、简单根式的积分116

习题4-4 116

复习题四117

知识梳理与链接118

第五章 定积分及其应用119

课标导航119

开篇案例119

第一节 定积分的概念及性质120

一、两个案例120

二、定积分的定义122

三、定积分的几何意义123

四、定积分的性质124

习题5-1 128

第二节 微积分基本公式129

一、积分上限函数（变上限函数）129

二、变上限函数的导数130

三、微积分基本公式131

习题5-2 132

第三节 定积分的计算方法133

一、定积分的换元积分法133

二、定积分的分部积分法136

习题5-3 139

第四节 广义积分140

一、无穷限广义积分140

二、无界函数的广义积分142

习题5-4 144

第五节 定积分在几何学上的应用144

一、定积分应用的具体分析方法144

二、平面图形的面积145

三、体积149

四、平面曲线的弧长151

习题5-5 153

第六节 定积分在物理学上的应用举例155

一、变力沿直线所做的功155

二、液体压力157

三、引力158

四、力矩和重心158

五、定积分在电学中的应用—一积分均值的应用160

习题5-6 161

复习题五 162

知识梳理与链接165

第六章 空间解析几何166

课标导航166

开篇案例166

第一节 空间直角坐标系167

一、空间直角坐标系167

二、空间两点间的距离167

三、方向余弦与方向数168

习题6-1 169

第二节 平面及其方程169

一、平面方程170

二、两个平面的夹角171

习题6-2 171

第三节 直线及其方程172

一、直线方程172

二、空间两直线的夹角174

习题6-3 175

第四节 曲面与空间曲线176

一、曲面方程的概念176

二、几类常见的空间曲面176

三、空间曲线的方程179

习题6-4 180

复习题六180

知识梳理与链接181

第七章 多元函数微分学182

课标导航182

开篇案例182

第一节 多元函数183

一、二元函数183

二、二元函数的极限184

三、二重极限的运算法则185

四、二元函数的连续性185

习题7-1 186

第二节 偏导数187

一、偏导数的概念187

二、高阶偏导数189

习题7-2 190

第三节 全微分191

习题7-3 194

第四节 多元复合函数的求导法194

一、全导数（复合函数的中间变量均为一元函数的情形）194

二、多元复合函数的求导法195

习题7-4 197

第五节隐函数的求导197

一、隐函数的概念197

二、一元隐函数的求导198

三、二元隐函数的求导198

习题7-5 200

第六节 多元函数的极值200

一、二元函数极值200

二、多元函数的最大、最小值问题201

习题7-6202

第七节 微分在几何学上的应用202

习题7-7 205

复习题七205

知识梳理与链接209

第八章 多元函数积分学210

课标导航210

开篇案例210

第一节 二重积分的概念及性质211

一、二重积分的概念211

二、二重积分的性质213

习题8-1 214

第二节 二重积分的计算方法214

一、直角坐标系中的计算方法214

二、极坐标系中的计算方法218

习题8-2 219

第三节 三重积分221

一、三重积分的概念221

二、三重积分的计算方法222

习题8-3 224

第四节 曲线积分225

一、对弧长的曲线积分225

二、对坐标的曲线积分228

三、格林公式230

四、平面上曲线积分与路径无关的条件232

习题8-4 234

第五节 曲面积分235

习题8-5 237

复习题八237

知识梳理与链接238

第九章 常微分方程239

课标导航239

开篇案例239

第一节 微分方程的基本概念240

习题9-1242

第二节 分离变量的微分方程243

习题9-2 245

第三节 一阶线性微分方程245

习题9-3 249

第四节 几类特殊类型的微分方程249

一、可降阶的微分方程250

二、齐次型微分方程252

三、dy/dx=a1x+b1y+c1/a2x+b2y+c2型微分方程253

四、伯努利方程254

习题9-4 255

第五节 二阶线性微分方程255

一、二阶线性齐次微分方程解的结构256

二、二阶线性非齐次微分方程解的结构256

三、二阶常系数线性微分方程257

习题9-5 263

第六节 微分方程应用举例263

习题9-6 266

复习题九267

知识梳理与链接268

第十章 无穷级数269

课标导航269

开篇案例269

第一节 无穷级数的概念和性质270

一、无穷级数的基本概念270

二、无穷级数的基本性质272

习题10-1 274

第二节 数项级数的审敛法275

一、正项级数及其审敛法275

二、交错级数及其审敛法278

三、任意项级数的敛散性279

习题10-2 280

第三节 幂级数280

一、函数项级数281

二、幂级数的收敛性282

三、幂级数的运算性质283

习题10-3 286

第四节 函数的幂级数展开式286

一、泰勒级数286

二、函数的幂级数展开288

三、函数幂级数展开式的应用291

习题10-4 293

第五节 傅里叶级数294

一、三角级数与三角函数系的正交性294

二、周期为2 π的函数展开成傅里叶级数295

三、函数展开成正弦级数或余弦级数296

四、周期为21的函数展开成傅里叶级数299

五、傅里叶级数的复数形式301

习题10-5 302

复习题十303

知识梳理与链接306

附录307

附录一 数学建模初步307

一、数学模型307

二、数学建模308

三、建模举例311

四、如何撰写数学建模论文311

附录二《高等数学》课时分配314

附录三 部分参考答案314

参考文献340