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引论1

0.1　一个高等数学命题的扩充1

0.1.1 集合与距离1

0.1.2 映射6

0.1.3 泛函分析与高等数学某些方面的粗略比较9

0.1.4 一个高等数学命题的抽象11

0.1.5 抽象命题应用的一例17

0.2.1 内积与距离19

0.2　一个几何命题的扩充19

0.2.2 函数的最佳逼近问题21

0.2.3 最佳逼近三角多项式23

第一章　集合、映射与线性空间25

1.1 集合运算25

1.1.1 集合概念25

1.1.2 备用记号26

1.1.3 集合运算的定义27

1.1.4 运算法则29

1.1.5　笛卡尔积概念31

1.2.1 集的对等概念32

1.2　无限集的势32

1.2.2 可列集33

1.2.3 势c集36

1.3　映射38

1.3.1 映射概念38

1.3.2 映射基本性质41

1.3.3　复合映射与逆映射42

1.4.1 矢量空间的概念48

1.3.4　逆映射与算子方程的解48

1.4　矢量空间48

1.4.2 线性组合与线性相关51

1.4.3 矢量空间的生成与基53

1.5　线性变换56

1.5.1 线性变换概念56

1.5.2 非奇线性变换59

1.5.3 有限维空间上的线性变换与矩阵60

2.1.1 实数连续性概念63

第二章　实分析基础63

2.1 实数连续性与完备性63

2.1.2 实数连续性等价命题68

2.1.3 实数完备性及其应用71

2.2　闭区间上连续函数的性质79

2.2.1 有界性定理、最值与介值定理79

2.2.2 一致连续性82

2.2.3　一致收敛概念87

2.3.1 开集及其测度90

2.3　点集及测度90

2.3.2　聚点性质、闭包及稠密94

2.3.3 闭集及其测度97

2.3.4 可测集101

2.4　可测函数108

2.4.1 可测函数概念108

2.4.2 可测函数性质110

2.4.3 可测函数与连续函数的关系113

2.4.4　测度收敛概念115

2.5.1 黎曼积分概念116

2.5　勒贝格积分116

2.5.2 测度有限的集上的函数的勒贝格积分121

2.5.3 无穷测度集上的函数的勒贝格积分127

2.5.4　勒贝格积分的性质128

第三章　度量空间134

3.1　度量空间概念135

3.1.1 几个不等式135

3.1.2 度量空间定义141

3.1.3 常见的度量空间142

3.2　度量空间的拓扑性质148

3.2.1 开集与闭集149

3.2.2　连续与一致连续153

3.2.3　度量空间中的收敛156

3.3　完备性概念162

3.3.1　本来列概念162

3.3.2 常见的完备空间165

3.3.3　度量空间的完备化170

3.3.4　完备性的等价命题172

3.4　压缩映射原理及其应用174

3.4.1　压缩映射原理174

3.4.2 线性方程组的迭代解法179

3.4.3 一阶常微分方程解的存在唯一性定理183

3.4.4　压缩映射原理在积分方程求解时的应用185

3.5　可分性概念189

3.5.1　稠密概念189

3.5.2　可分性193

3.5.3　不可分的完备空间194

3.6　列紧性与紧性195

3.6.1　全有界195

3.6.2 列紧性197

3.6.3　列紧的表现202

3.6.4 紧集203

3.6.5 紧集上连续泛函的性质206

第四章　赋范空间与Banach空间209

4.1　线性赋范空间基本概念209

4.1.1　线性赋范空间定义210

4.1.2 赋范空间与距离空间关系211

4.1.3 赋范空间的例214

4.1.4 赋范空间基本性质215

4.2　有限维赋范空间与子空间218

4.2.1　完备性定理218

4.2.2　范数等价定理219

4.2.3 紧性220

4.3　线性有界算子221

4.3.1 线性算子与有界算子定义222

4.3.2 线性有界算子的条件224

4.3.3　算子范数的定义224

4.3.4 求线性有界算子范数的例226

4.3.5　有限维空间上的线性算子231

4.4　线性连续算子空间232

4.4.1 线性算子的连续性与有界性233

4.4.2　连续算子空间235

4.4.3　算子列的收敛238

4.4.4 赋范空间中级数的收敛与绝对收敛239

4.4.5　连续算子空间中算子级数的收敛与绝对收敛241

4.4.6　下有界算子与逆算子247

4.5　线性有界泛函与共轭空间249

4.5.1 线性有界泛函的表现形式250

4.5.2 共轭空间的概念251

4.6　有界线性算子的谱252

4.6.1 特征值与特征矢量253

4.6.2 有界线性算子的正则点与谱点261

4.6.3　谱的性质265

4.7.1 最佳逼近问题268

4.7　赋范空间中的最佳逼近268

4.7.2　C［a、b］中最佳逼近的存在唯一性271

4.7.3　Chebyshev多项式274

第五章　内积空间与Hilbert空间277

5.1 内积空间基本概念277

5.1.1 内积定义277

5.1.2 内积基本性质283

5.2　正交分解与投影定理287

5.2.1 正交与正交补288

5.2.2 矢量投影与正交分解290

5.2.3 投影定理与极值问题292

5.3　投影定理应用实例296

5.3.1 三角多项式的最佳逼近296

5.3.2 最小二乘法298

5.4 内积空间中的正交系299

5.4.1 单位正交系与广义Fourier级数299

5.4.2 正交系的完全性与完备性304

5.4.3 三角函数系的完全性及其应用308

5.4.4　Gram-Schmidt正交化方法314

5.4.5　Legendre多项式316

5.4.6　Hermite多项式320

5.4.7　Laguerre多项式323

5.5　共轭空间与共轭算子324

5.5.1 连续线性泛函的表示324

5.5.2 共轭空间326

5.5.3　共轭算子327

参考书目333