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第1章 Finsler流形基础1

1.1 Finsler度量和体积元1

1.1.1 Finsler度量1

1.1.2 射影球丛2

1.1.3 体积元5

1.2 Finsler流形上的联络6

1.2.1 陈联络6

1.2.2 共变导数7

1.2.3 其他Finsler联络8

1.2.4 射影球丛上的联络9

1.3 测地系数与测地线9

1.4 曲率11

1.4.1 曲率张量11

1.4.2 旗曲率与Ricci曲率12

1.4.3 非黎曼曲率13

1.5 特殊的Finsler度量14

1.5.1 具有特殊曲率性质的Finsler度量14

1.5.2 Randers度量16

1.5.3 （α，β）度量20

1.5.4 广义（α，β）度量22

1.5.5 m次根度量23

1.6 微分算子与积分公式24

1.6.1 射影球丛上的散度和Laplace算子24

1.6.2 射影球面上的积分公式26

1.6.3 垂直平均值算子29

1.6.4 流形上的散度公式30

1.7 Finsler流形间的映射31

1.7.1 拉回联络31

1.7.2 等距浸入34

1.8 复Finsler流形35

1.8.1 复Finsler度量35

1.8.2 Chern-Finsler联络36

1.8.3 特殊的复Finsler度量37

第2章 Finsler流形间的调和映射39

2.1 能量泛函的第一和第二变分39

2.1.1 能量泛函39

2.1.2 第一变分40

2.1.3 张力形式和张力场41

2.1.4 第二变分42

2.2 强调和映射的变分背景44

2.2.1 垂直平均值截面44

2.2.2 广义能量泛函44

2.3 Bochner型公式46

2.4 取值于向量丛的调和形式50

2.4.1 底流形上取值于向量丛的调和形式50

2.4.2 SM上取值于向量丛的调和形式53

2.5 F-调和映射55

2.5.1 F-能量泛函55

2.5.2 第一变分56

2.5.3 第二变分58

2.6 从复Finsler流形到Hermitian流形的调和映射60

2.6.1 能量密度60

2.6.2 第一变分公式61

第3章 Finsler调和映射的性质和应用62

3.1 调和映射的稳定性62

3.1.1 欧氏球面Sn（n＞2）与Finsler流形之间调和映射的稳定性62

3.1.2 SSU流形与Finsler流形之间调和映射的稳定性65

3.2 调和映射的复合性质67

3.3 应力-能量张量及共形映射69

3.3.1 应力-能量张量69

3.3.2 共形调和映射71

3.3.3 曲面上的调和映射74

3.4 一些刚性定理75

3.4.1 关于调和映射的刚性定理75

3.4.2 关于强调和映射的刚性定理78

3.5 调和映射的存在性79

3.5.1 Eells-Sampson型定理80

3.5.2 热流解的存在性81

3.5.3 热流解的收敛性83

3.5.4 定理3.5.1的证明86

3.6 弱调和映射的正则性86

3.7 到Randers空间的调和映射的性质87

3.7.1 到Randers空间的调和映射87

3.7.2 存在性88

3.7.3 稳定性91

3.8 F-调和映射的性质93

3.8.1 F-调和映射的稳定性93

3.8.2 F-应力能量张量96

3.9 复Finsler调和映射的性质99

3.9.1 复Finsler调和映射的存在性99

3.9.2 同伦不变量100

第4章 Finsler-Laplace算子及其第一特征值102

4.1 Finsler-Laplace算子102

4.1.1 平均Laplace算子102

4.1.2 一个自然的Finsler-Laplace算子103

4.1.3 由平均度量确定的Riemann-Laplace算子103

4.1.4 Laplace算子的谱105

4.2 平均Laplace算子的性质106

4.3 广义（α，β）度量的平均Laplace算子108

4.3.1 广义（α，β）度量的平均度量108

4.3.2 广义（α，β）度量的平均Laplace算子109

4.3.3 Randers度量的平均Laplace算子110

4.4 平均Laplace算子的第一特征值113

4.4.1 黎曼几何中关于第一特征值的一些结果113

4.4.2 Berwald流形上平均Laplace算子的第一特征值115

4.5 曲面上平均Laplace算子的第一特征值120

第5章 非线性Finsler-Laplace算子及其第一特征值124

5.1 非线性Finsler-Laplace算子124

5.1.1 非线性Laplace算子的定义124

5.1.2 Finsler流形上若干加权算子的性质126

5.2 非线性Laplace算子的比较定理129

5.3 非线性Laplace算子的第一特征值132

5.3.1 第一特征函数存在性与正则性132

5.3.2 加权Ricci曲率具有正下界时的第一特征值估计133

5.3.3 加权Ricci曲率具有非负下界时的第一特征值估计139

5.3.4 加权Ricci曲率具有负下界时的第一特征值估计153

5.4 Finsler p-Laplace算子的第一特征值156

5.4.1 第一特征函数的存在性156

5.4.2 加权Ricci曲率具有正下界时的第一特征值估计158

5.4.3 加权Ricci曲率具有负上界时的第一特征值估计163

第6章 Finsler流形的HT-极小子流形166

6.1 Finsler子流形166

6.1.1 Finsler极小子流形166

6.1.2 Gauss方程167

6.1.3 全脐子流形168

6.2 HT-体积的第一变分171

6.3 强极小子流形及其变分背景173

6.4 特殊Finsler流形的极小子流形175

6.4.1 Minkowski空间的极小子流形175

6.4.2 Randers空间的极小子流形179

6.4.3 广义（α，β）空间的极小子流形182

6.5 极小子流形的一些分类定理187

6.5.1 （α，β）-Minkowski空间中极小曲面的分类187

6.5.2 非Minkowski广义（α，β）空间中极小曲面的分类193

6.5.3 射影平坦广义（α，β）空间中劈锥极小曲面的分类196

第7章 HT-极小子流形的性质199

7.1 HT-体积的第二变分199

7.2 极小子流形的稳定性202

7.2.1 Minkowski空间中极小超曲面的稳定性202

7.2.2 极小图的稳定性203

7.3 Bernstein型定理205

7.3.1 广义（α，β）空间中的Bernstein型定理205

7.3.2 Minkowski空间中极小图的Bernstein型定理205

7.3.3 欧氏空间中极小超曲面的Bernstein型定理207

7.3.4 Minkowski空间中稳定极小超曲面的Bernstein型定理210

第8章 关于一般体积测度的极小子流形213

8.1 关于一般体积测度的平均曲率213

8.2 BH-极小子流形215

8.2.1 （R3,F）中的极小曲面215

8.2.2 高维（α，β）空间中极小超曲面216

8.3 BH-极小子流形的Bernstein型定理219

参考文献221

索引228