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第一章 绪论1

1.1 数值计算方法的任务1

1.2 误差基本知识2

1.2-1 误差的来源2

1.2-2 绝对误差、相对误差和有效数字3

1.2-3 数值运算的误差估计7

1.3 选用数值算法的若干注意之点9

习题一13

第二章 插值法16

2.1 引言16

2.1-1 插值问题16

2.1-2 插值多项式的存在唯一性17

2.1-3 几何意义与插值余项18

2.2 拉格朗日插值多项式18

2.2-1 拉格朗日插值多项式的构造18

2.2-2 插值余项表达式21

2.3 差商和牛顿插值公式23

2.3-1 差商的定义及其性质23

2.3-2 牛顿插值多项式及其余项26

2.4 差分与等距节点插值公式29

2.4-1 差分的定义29

2.4-2 差分的性质30

2.4-3 等距节点插值公式与差分表32

2.5 埃尔米特插值35

2.5-1 低次埃尔米特插值多项式36

2.5-2 一般埃尔米特插值多项式38

2.6 分段插值法40

2.6-1 分段线性插值函数42

2.6-2 分段二次插值函数43

2.7 三次样条插值44

2.7-1 三次样条插值的定义44

2.7-2 三次样条插值函数的构造45

习题二52

第三章 平方逼近与正交多项式55

3.1 正交多项式56

3.1-1 正交多项式的概念56

3.1-2 正交多项式的性质57

3.1-3 切比晓夫多项式61

3.1-4 勒让德多项式64

3.1-5 拉盖尔多项式与埃尔米特多项式66

3.2 最佳平方逼近67

3.2-1 函数的最佳平方逼近67

3.2-2 用正交函数系作最佳平方逼近71

3.3 数据的最小二乘曲线拟合76

3.3-1 最小二乘曲线拟合的概念76

3.3-2 用多项式进行最小二乘曲线拟合78

3.3-3 正交多项式在曲线拟合中的应用83

习题三87

4.1 引言89

4.1-1 数值求积的基本思想与求积公式89

第四章 数值积分与数值微分89

4.1-2 求积公式的代数精确度90

4.2 牛顿—柯特斯公式91

4.2-1 插值型求积公式91

4.2-2 牛顿-柯特斯公式92

4.2-3 求积公式的截断误差95

4.3 复化求积公式98

4.3-1 复化梯形公式99

4.3-2 复化辛甫生公式和复化柯特斯公式100

4.4-3 区间逐次分半求积法103

4.4 龙贝格求积算法106

4.5 高斯型求积公式109

4.5-1 高斯-勒让德求积公式111

4.5-2 高斯型求积公式的余项113

4.5-3 高斯型求积公式的稳定性114

4.5-4 带权的高斯型求积公式115

4.6 数值微分118

习题四119

第五章 方程求根122

5.1 二分法122

5.1-1 在有根区间内仅有一个实单根的情况122

5.1-2 在有根区间内不止一个实根的情况124

5.2 迭代法126

5.2-1 简单迭代法126

5.2-2 迭代收敛的加速130

5.3-1 牛顿法133

5.3 牛顿法133

5.3-2 迭代收敛的阶135

5.3-3 牛顿法的改进137

5.4 弦割法139

5.5 抛物线法140

5.6 非线性方程组的解法143

习题五145

第六章 解线性方程组的直接方法148

6.1 消去法149

6.1-1 高斯消去法149

6.1-2 高斯主元消去法152

6.1-3 高斯-约当消去法155

6.1-4 方阵求逆157

6.2 矩阵分解及其在解方程组中的应用162

6.2-1 高斯消去法的矩阵形式162

6.2-2 矩阵的三角分解165

6.2-3 选主元的三角分解法解方程组168

6.2-4 追赶法170

6.2-5 平方根法173

6.3 向量和矩阵的范数及方程组的性态177

6.3-1 向量的范数177

6.3-2 矩阵的范数179

6.3-3 方程组的性态182

习题六186

7.1 雅可比迭代与高斯-赛德尔迭代189

7.1-1 雅可比迭代189

第七章 解线性方程组的迭代法189

7.1-2 高斯-赛德尔迭代191

7.2 迭代的收敛性192

7.3 超松驰迭代法196

习题七200

第八章 矩阵特征值和特征向量的计算202

8.1 乘幂法与反幂法202

8.1-1 乘幂法202

8.1-2 原点平移法207

8.1-3 雷利商加速法208

8.1-4 反幂法210

8.2 雅可比法212

8.2-1 古典雅可比法213

8.2-2 雅可比过关法217

8.3 QR 方法219

8.3-1 QR 分解219

8.3-2 反射矩阵220

8.3-3 用反射变换化 A 为上 Hessenberg 阵220

8.3-4 带原点平移的 QR 方法223

8.4 二分法求矩阵特征值224

8.4-1 矩阵 A 的特征多项式序列的性质225

8.4-2 特征值的计算230

习题八233

第九章 常微分方程初值问题的数值解法236

9.1-1 欧拉方法的构造237

9.1 欧拉方法与改进的欧拉方法237

9.1-2 后退的欧拉公式239

9.1-3 改进的欧拉方法240

9.1-4 数值方法的收敛性、误差估计和稳定性243

9.2 龙格-库塔方法247

9.2-1 泰勒方法247

9.2-2 龙格-库塔方法的基本思想与二阶公式的推导249

9.2-3 四阶龙格-库塔方法252

9.2-4 步长的自动选择255

9.3 线性多步法256

9.3-1 阿达姆斯显式公式257

9.3-2 阿达姆斯隐式公式260

9.3-3 阿达姆斯预测-校正方法262

9.3-4 基于泰勒展开的方法263

9.3-5 哈明方法267

9.4 一阶方程组与高阶方程268

9.4-1 一阶方程组268

9.4-2 高阶方程270

习题九272

第十章 椭圆型方程边值问题的差分解法275

10.1 常微分方程边值问题的差分解法275

10.1-1 差分格式的构造275

10.1-2 差分方程的可解性及误差估计276

10.1-3 解差分方程组的追赶法280

10.1-4 一般二阶常微分方程的第三边值问题281

10.2 椭圆形差分格式的构造283

10.2-1 微分方程的差分近似284

10.2-2 边值条件的处理292

10.3 差分方程解的存在唯一性、收敛性及误差估计295

10.4 差分方程的解法300

10.4-1 椭圆形差分方程的一些特征300

10.4-2 差分方程的迭代解法302

习题十307

第十一章 抛物型方程的差分解法311

11.1 古典差分格式的构造312

11.1-1 最简显式格式312

11.1-2 最简隐式格式314

11.1-3 李查逊格式316

11.1-4 六点对称格式317

11.2 差分格式的收敛性与稳定性318

11.2-1 分析稳定性的ε—图方法319

11.2-2 古典差分格式的稳定性321

11.2-3 关于差分格式的收敛性325

11.3 二维热传导方程的交替方向格式326

11.3-1 P-R 格式327

11.3-2 D-R 格式328

习题十一329

第十二章 双曲型方程的差分解法332

12.1 双曲型方程混合问题的差分解法332

12.1-1 差分格式的建立332

12.1-2 差分格方的稳定性335

12.1-3 差分格式的收敛性338

12.2-1 偏心差分格式341

12.2 一阶方程的差分方法341

12.2-2 Lax 格式344

12.2-3 Lax-Wendroff 格式345

12.3 特征线法与特征—差分方法347

12.3-1 特征线法349

12.3-2 特征—差分方法350

12.3-3 一阶双曲型方程组354

习题十二358

第十三章 微分方程的有限元方法361

13.1 变分原理与古典变分方法361

13.1-1 初等变分原理的实例361

13.1-2 常微分方程边值问题的变分原理366

13.1-3 二阶椭圆形方程边值问题的变分原理371

13.1-4 古典变分方法380

13.2 常微分方程边值问题的有限元方法388

13.2-1 剖分与插值389

13.2-2 有限元方程的形成391

13.2-3 举例398

13.3 二阶椭圆形方程的有限元解法399

13.3-1 元单剖分与分片插值400

13.3-2 有限元方程的形成411

13.3-3 有限元方程的求解417

13.3-4 收敛性与误差估计418

习题十三423

习题答案427

参考书目443