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第1章　引论1

1.1　计算方法研究的对象与特点1

目录1

1.2　误差和有效数字4

1.2.1　误差的来源4

1.2.2　误差的度量5

1.3　误差的传播8

1.3.1　函数的误差8

1.3.2　算术运算的误差9

1.3.3　数值稳定性10

1.4　数值计算的若干原则11

习题115

本章小结15

第2章　计算方法的数学基础17

2.1　微积分的有关概念和定理17

2.1.1 数列与函数的极限17

2.1.2　连续函数的性质19

2.1.3　罗尔定理和微分中值定理19

2.1.4　积分加权平均值定理20

2.1.5　二元泰勒定理21

2.2　微分方程的有关概念和定理22

2.2.1　基本概念22

2.2.2　初值问题解的存在惟一性23

2.2.3　初值问题的适定性24

2.3　线性代数的有关概念和定理25

2.3.1　线性相关和线性无关25

2.3.2　方阵及其初等变换26

2.3.3　方程组解的存在惟一性29

2.3.4　特殊矩阵30

2.3.5　方阵的逆及其运算性质31

2.3.6　矩阵的特征值及若干运算性质33

2.3.7　主子阵和主子式35

2.3.8　对称正定矩阵35

2.3.9　对角占优矩阵37

2.3.10 向量和连续函数的内积37

2.3.11 向量、矩阵和连续函数的范数38

本章小结44

习题244

第3章　方程求根46

3.1 引言46

3.1.1　根的存在性47

3.1.2　根的分布47

3.1.3　根的精确化48

3.2　二分法49

3.3 迭代法52

3.3.1　不动点迭代52

3.3.2　迭代法的收敛性53

3.3.3　迭代法的改善59

3.4　牛顿迭代法60

3.4.1 牛顿迭代公式及其几何意义60

3.4.2　牛顿迭代法的收敛性61

3.4.3　重根情形67

3.5 弦截法68

本章小结69

习题369

第4章　解线性方程组的直接法72

4.1 引言72

4.2　高斯（Gauss）消去法73

4.2.1　顺序高斯消去法73

4.2.2　主元素高斯消去法77

4.2.3 高斯-约当（Gauss-Jordan）消去法79

4.3　矩阵三角分解法81

4.3.1 高斯消去法与矩阵三角分解81

4.3.2 直接三角分解法83

4.4　特殊线性方程组的解法87

4.4.1 解三对角方程组的追赶法87

4.4.2　解对称正定方程组的平方根法89

4.5　误差分析93

4.5.1　病态方程组与条件数93

4.5.2　病态方程组的解法96

本章小结97

习题498

5.1　引言100

5.1.1 向量序列与矩阵序列的极限100

第5章　解线性方程组的迭代法100

5.1.2　迭代法的构造101

5.2　雅可比迭代法和高斯-塞德尔迭代法102

5.2.1　雅可比（Jacobi）迭代法102

5.2.2　高斯-塞德尔（Gauss-Seidel）迭代法104

5.2.3　迭代法的收敛性106

5.3　超松弛（SOR）迭代法112

5.3.1　超松弛（SOR）迭代法概述112

5.3.2　超松弛迭代法的收敛性113

习题5114

本章小结114

第6章　插值与最小二乘法118

6.1 引言118

6.1.1　插值问题118

6.1.2　插值多项式的存在惟一性119

6.2　拉格朗日（Lagrange）插值120

6.2.1　线性插值与抛物插值120

6.2.2　拉格朗日插值多项式122

6.2.3　插值余项与误差估计124

6.3　牛顿（Newton）插值127

6.3.1　均差与牛顿插值公式127

6.3.2　差分与牛顿前后插值公式132

6.4.1　两点三次埃尔米特插值134

6.4　埃尔米特（Hermite）插值134

6.4.2　低阶含导数项的插值136

6.5　分段低次插值138

6.5.1　高次插值与龙格（Runge）现象138

6.5.2　分段线性插值139

6.5.3　分段三次埃尔米特（Hermite）插值141

6.6　样条函数插值143

6.6.1　三次样条插值函数143

6.6.2　三次样条插值函数的求法145

6.7　离散数据的曲线拟合148

6.7.1　曲线拟合问题148

6.7.2　最小二乘法原理与多项式拟合148

6.7.3　正交多项式拟合151

本章小结152

习题6152

第7章　数值积分与数值微分157

7.1 引言157

7.1.1　数值求积的必要性157

7.1.2　数值积分的基本思想158

7.1.3　代数精度158

7.1.4　插值型求积公式160

7.2　牛顿-柯特斯（Newton-Cotes）求积公式161

7.2.1　牛顿-柯特斯求积公式的导出161

7.2.2　牛顿-柯特斯求积公式的误差估计164

7.3.1　复合梯形求积公式166

7.3　复合求积公式166

7.3.2　复合辛普生求积公式167

7.4　外推算法与龙贝格（Romberg）算法170

7.4.1　变步长的求积公式170

7.4.2　外推算法171

7.4.3　龙贝格求积公式172

7.5　高斯求积公式177

7.5.1　高斯点与高斯求积公式177

7.5.2　高斯-勒让德（Gauss-Legendre）求积公式178

7.5.3　高斯求积公式的稳定性和收敛性182

7.6　数值微分183

7.6.1　中点公式183

7.6.2　插值型微分公式185

本章小结186

习题7186

第8章 常微分方程初值问题的数值解法190

8.1 引言190

8.2　欧拉公式192

8.2.1　欧拉公式及其几何意义192

8.2.2　欧拉公式的变形193

8.3　单步法的局部截断误差和方法的阶196

8.4　龙格-库塔（Runge-Kutta）方法199

8.4.1　龙格-库塔方法的基本思想199

8.4.2　二阶龙格-库塔方法的推导199

8.4.3　四阶经典龙格-库塔方法202

8.5　单步法的收敛性和稳定性204

8.5.1　单步法的收敛性204

8.5.2　单步法的稳定性207

8.6　线性多步法210

8.6.1　线性多步法的构造原理210

8.6.2　亚当姆斯（Adams）方法211

8.6.3　预测-校正技术213

本章小结215

习题8215

第9章　MATLAB编程基础及其在计算方法中的应用218

9.1 MATLAB简介218

9.2　命令窗口和基本命令219

9.3　变量、常量和数据类型220

9.4　数值运算221

9.4.1 向量运算221

9.4.2　矩阵运算222

9.5　符号运算224

9.5.1　字符串运算224

9.5.2　符号表达式运算225

9.5.3　符号矩阵运算228

9.5.4　符号微积分运算229

9.5.5　方程求解231

9.6　图形可视化233

9.6.1　二维图形绘制233

9.6.2　三维图形绘制235

9.7.1 命令文件与函数文件236

9.7.2　控制语句236

9.7　程序设计236

9.7.3　调试方法238

9.8 MATLAB在计算方法中的应用240

9.8.1 方程求根240

9.8.2　解线性方程组的直接法244

9.8.3　解线性方程组的迭代法249

9.8.4　插值与曲线拟合253

9.8.5　数值积分257

9.8.6　常微分方程的数值解法262

习题9266

本章小结266

附录A　计算方法实验268

实验一　方程求根268

实验二　解方程组的直接法269

实验三　解线性方程组的迭代法270

实验四　插值问题271

实验五　离散数据的曲线拟合272

实验六　数值积分273

实验七　数值微分274

实验八　求解常微分方程的初值问题275

实验九　求解特殊线性方程组276

参考文献278