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第四章 多元函数微分学及其应用1

第一节 多元函数的基本概念1

1.1 多元函数的概念1

1.2 多元函数的极限与连续4

习题4.16

第二节 偏导数7

2.1 偏导数的概念及其计算7

2.2 高阶偏导数10

习题4.212

第三节 全微分13

3.1 全微分的概念13

3.2 函数可微的条件13

习题4.316

第四节 多元复合函数的求导法则17

习题4.420

第五节 隐函数微分法21

习题4.525

第六节 微分法在几何上的应用26

6.1 空间曲线的切线与法平面26

6.2 曲面的切平面与法线28

习题4.630

第七节 方向导数与梯度31

7.1 方向导数31

7.2 梯度33

7.3 场的概念简介36

习题4.737

第八节 多元函数的极值及其求法37

8.1 多元函数的极值及最大值、最小值37

8.2 条件极值拉格朗日乘数法41

习题4.845

综合习题四45

第五章 重积分47

第一节 二重积分的概念与性质47

1.1 二重积分的概念47

1.2 二重积分的性质50

习题5.152

第二节 二重积分的计算52

2.1 利用直角坐标计算二重积分53

习题5.2.159

2.2 利用极坐标计算二重积分60

习题5.2.264

2.3 二重积分的换元法65

习题5.2.368

第三节 二重积分的应用68

3.1 曲面的面积68

3.2 平面薄片的重心71

3.3 平面薄片的转动惯量73

3.4 平面薄片对质点的引力74

习题5.376

第四节 三重积分的概念与计算76

4.1 三重积分的概念与在直角坐标系中的计算76

4.2 三重积分的换元法80

4.3 三重积分的应用85

习题5.487

综合习题五89

第六章 曲线积分与曲面积分91

第一节 对弧长的曲线积分91

1.1 对弧长的曲线积分的概念与性质91

1.2 对弧长的曲线积分的计算93

习题6.196

第二节 对坐标的曲线积分97

2.1 对坐标的曲线积分的概念与性质97

2.2 对坐标的曲线积分的计算100

2.3 两类曲线积分之间的联系103

习题6.2104

第三节 格林公式105

3.1 格林公式105

3.2 平面曲线积分与路径无关的条件109

3.3 原函数111

习题6.3115

第四节 对面积的曲面积分116

4.1 对面积的曲面积分的概念与性质116

4.2 对面积的曲面积分的计算117

习题6.4121

第五节 对坐标的曲面积分121

5.1 对坐标的曲面积分的概念与性质121

5.2 对坐标的曲面积分的计算124

5.3 两类曲面积分之间的联系127

习题6.5129

第六节 高斯公式 通量与散度129

6.1 高斯公式129

6.2 通量与散度134

6.3 沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件136

习题6.6137

第七节 斯托克斯公式 环流量与旋度138

7.1 斯托克斯公式138

7.2 环流量与旋度141

7.3 空间曲线积分与路径无关的条件143

习题6.7145

综合习题六146

第七章 无穷级数148

第一节 常数项级数的概念和性质148

1.1 常数项级数的概念148

1.2 无穷级数的基本性质150

习题7.1152

第二节 常数项级数的审敛法153

2.1 正项级数及其审敛法153

2.2 交错级数及其审敛法159

2.3 绝对收敛与条件收敛161

习题7.2163

第三节 幂级数164

3.1 函数项级数的概念164

3.2 幂级数及其收敛性164

3.3 幂级数的运算169

习题7.3171

第四节 函数展开成幂级数172

4.1 泰勒(Taylor)级数172

4.2 函数展开成幂级数174

习题7.4179

第五节 函数的幂级数展开式的应用180

5.1 计算函数的近似值180

5.2 计算定积分的近似值181

5.3 欧拉公式183

习题7.5184

第六节 傅立叶级数184

6.1 三角级数三角函数系的正交性184

6.2 函数展开成傅立叶级数186

习题7.6190

第七节 正弦级数和余弦级数191

7.1 奇函数和偶函数的傅立叶级数191

7.2 函数展开成正弦级数或余弦级数193

习题7.7195

第八节 周期为2l的周期函数的傅立叶级数195

习题7.8197

综合习题七198

第八章 常微分方程199

第一节 微分方程的基本概念199

1.1 数学模型(引例)199

1.2 微分方程的基本概念203

习题8.1205

第二节 一阶微分方程205

2.1 变量可分离方程205

2.2 可化为变量可分离的方程206

2.3 一阶线性微分方程209

2.4 伯努利(Bernoulli)方程211

2.5 全微分方程(恰当方程)与积分因子213

习题8.2216

第三节 可降阶的高阶微分方程217

3.1 y(n)=f(x)型微分方程217

3.2 y″=f(x，y′)型微分方程218

3.3 y″=f(y，y′)型微分方程218

习题8.3219

第四节 高阶线性微分方程219

4.1 高阶线性微分方程的解的结构220

4.2 二阶常系数齐次线性微分方程222

4.3 n阶常系数齐次线性微分方程225

4.4 二阶常系数非齐次线性微分方程225

习题8.4233

第五节 微分方程的应用举例233

5.1 几何问题233

5.2 流量问题236

5.3 建筑问题237

5.4 振动问题239

5.5 运动问题241

习题8.5243

第六节 欧拉方程243

习题8.6245

第七节 一阶常系数线性微分方程组245

习题8.7246

综合习题八246

习题答案248