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第一章 函数、极限与连续1

导读1

第一节 集合与映射3

一、集合3

二、映射7

第二节 一元函数10

一、一元函数10

二、函数的几种简单特性14

三、反函数与复合函数16

四、初等函数18

第三节 数列的极限27

一、数列极限的概念27

二、数列极限的性质34

第四节 函数的极限38

一、函数在有限点处的极限38

二、函数在无穷远处的极限43

三、函数极限的性质45

一、极限的四则运算法则49

第五节 极限的运算法则49

二、复合函数的极限运算法则55

第六节 极限存在准则与重要极限57

一、准则Ⅰ57

二、准则Ⅱ61

第七节 无穷小与无穷大66

一、无穷小与无穷大66

二、无穷小的比较71

一、函数连续的概念76

第八节 函数的连续性76

二、连续函数的运算法则79

三、初等函数的连续性83

四、函数的间断点84

第九节 闭区间上的连续函数87

一、最大值与最小值定理87

二、介值定理88

要点解析90

复习题一94

第二章 导数与微分101

导读101

一、变化率问题举例102

第一节 导数的概念102

二、导数的定义104

三、根据定义求导数举例106

四、导数的几何意义109

五、函数的可导性与连续性的关系112

第二节 函数的四则运算的求导法则114

一、函数的和、差的求导法则114

二、函数的积的求导法则116

三、函数的商的求导法则119

第三节 反函数的导数121

一、反函数的求导法则122

二、指数函数的导数123

三、反三角函数的导数124

第四节 复合函数的求导法则125

第五节 初等函数的导数和分段函数的求导举例132

一、初等函数的导数133

二、分段函数求导举例134

第六节 高阶导数135

第七节 隐函数的导数 由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率140

一、隐函数的导数140

二、由参数方程所确定的函数的导数144

三、相关变化率149

第八节 函数的微分151

一、微分的定义151

二、函数可微与可导之间的关系152

三、微分的几何意义155

四、函数的微分公式与微分法则156

五、复合函数的微分法则与微分形式不变性157

第九节 微分的应用159

一、微分在近似计算中的应用159

二、微分在误差估计中的应用163

要点解析166

复习题二169

第三章 微分中值定理与导数的应用172

导读172

第一节 微分中值定理172

第二节 洛必达法则179

一、？和？型未定式的洛必达法则179

二、其他未定式的计算183

第三节 泰勒公式186

第四节 函数的单调性的判别法196

第五节 函数的极值及其求法202

第六节 最大值与最小值问题208

一、函数在闭区间上的最大值和最小值208

二、实际问题中的最大值和最小值210

第七节 曲线的凹凸性与拐点215

第八节 函数图形的描绘219

一、曲线的水平渐近线与铅直渐近线220

二、函数图形的描绘220

第九节 曲线的曲率225

一、平面曲线的曲率概念225

二、曲率公式227

第十节 方程的近似解232

要点解析233

复习题三236

第四章 不定积分241

导读241

第一节 不定积分的概念、性质与简单计算242

一、原函数与不定积分242

二、基本积分表245

三、不定积分的线性运算性质247

第二节 不定积分的换元积分法249

一、不定积分的第一类换元法250

二、不定积分的第二类换元法257

三、两类换元积分法的比较260

第三节 不定积分的分部积分法261

第四节 有理函数的不定积分267

一、有理函数的不定积分267

二、三角函数有理式的不定积分274

要点解析277

复习题四280

导读282

第五章 定积分及其应用282

第一节 定积分概念283

一、定积分概念产生的实际背景283

二、定积分的定义287

三、定积分的几何意义290

四、定积分的性质291

第二节 微积分基本定理296

一、变上限的定积分297

二、牛顿-莱布尼兹公式300

一、定积分的换元法305

第三节 定积分的换元法与分部积分法305

二、定积分的分部积分法312

第四节 定积分的几何应用举例315

一、平面图形的面积317

二、体积321

三、平面曲线的弧长325

第五节 定积分的物理应用举例330

一、变力沿直线所作的功330

二、水压力334

三、引力335

第六节 定积分的近似计算337

一、矩形法338

二、梯形法338

三、抛物线法340

第七节 反常积分344

一、无穷限的反常积分344

二、无界函数的反常积分348

要点解析350

复习题五353

导读358

第六章 微分方程358

第一节 微分方程的基本概念359

第二节 可分离变量的微分方程和齐次方程362

一、可分离变量的微分方程363

二、齐次型方程371

第三节 一阶线性微分方程和伯努里方程374

一、一阶线性微分方程374

二、伯努利方程378

第四节 可降价的二阶微分方程380

一、y″=f(x)型的微分方程380

二、y″=f(x,y′)型的微分方程381

三、y″=f(y,y′)型的微分方程382

第五节 线性微分方程解的结构387

第六节 二阶常系数线性微分方程390

一、二阶常系数齐次线性微分方程390

二、二阶常系数非齐次线性微分方程394

三、二阶常系数线性微分方程的应用举例401

要点解析408

复习题六410

复习题答案与提示415

附录 几种常用的曲线425