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第一章　行列式1

1.1　全排列及其逆序数1

1.1.1　全排列1

目录1

1.1.2　逆序数2

1.2　n阶行列式4

1.2.1　二阶、三阶行列式4

1.2.2　n阶行列式的定义6

1.3　行列式的性质9

1.4　行列式按行（列）展开14

1.5　克莱姆法则20

习题一24

2.1　矩阵的概念29

第二章　矩阵29

2.2　矩阵的基本运算31

2.2.1　矩阵的加法31

2.2.2　数与矩阵的乘法32

2.2.3　矩阵的乘法33

2.2.4　矩阵的转置36

2.3　常见的特殊矩阵38

2.3.1　对角矩阵38

2.3.2　数量矩阵39

2.3.3　单位矩阵40

2.3.4　对称矩阵40

2.3.5　行阶梯形矩阵41

2.4　逆矩阵41

2.4.1　逆矩阵的概念及计算42

2.4.2　逆矩阵的性质46

2.5　分块矩阵47

习题二52

第三章　矩阵的初等变换与线性方程组56

3.1　矩阵的初等变换56

3.2　矩阵的秩58

3.2.1　矩阵的秩的概念58

3.2.2　用初等行变换求矩阵的秩59

3.3　初等矩阵61

3.3.1　初等矩阵的概念61

3.3.2　用初等变换求逆矩阵64

3.4　求解线性方程组的高斯-约当消元法67

3.4.1 消元法67

3.4.2　线性方程组的解70

习题三75

第四章　向量组的线性相关性及线性方程组的结构解80

4.1　n维向量及其运算80

4.2　n维向量空间82

4.3　向量组的线性相关性83

4.3.1　线性组合83

4.3.2　线性相关与线性无关的概念84

4.3.3　线性相关与线性无关的判别法87

4.4　极大线性无关组与向量组的秩89

4.4.1　极大线性无关组89

4.4.2　极大无关组的初等变换求法90

4.5　线性方程组解的结构91

4.5.1 齐次线性方程组的基础解系及解的结构91

4.5.2　非齐次线性方程组解的结构96

习题四98

第五章　矩阵的对角化102

5.1　矩阵的特征值与特征向量102

5.2　相似矩阵与矩阵的对角化106

5.2.1　相似矩阵106

5.2.2　矩阵的对角化106

5.3　实对称矩阵的相似矩阵110

5.3.1　向量的内积110

5.3.2　正交向量组111

5.3.3　正交矩阵与正交变换114

5.3.4　实对称矩阵的相似矩阵116

习题五120

6.1　二次型及其矩阵表示123

第六章　二次型123

6.2　化二次型为标准形126

6.2.1　用正交变换法化二次型为标准形126

6.2.2　用配方法化二次型为标准形129

6.2.3　用合同变换法化二次型为标准形132

6.3　正定二次型133

习题六137

第七章　线性代数应用举例140

7.1　矩阵与线性方程组的应用140

7.1.1　Durer魔方140

7.1.2　投入产出数学模型144

7.1.3　线性规划数学模型149

7.2　矩阵的特征向量与相似对角化的应用154

7.2.1　基因遗传模型154

7.2.2　层次分析法159

7.2.3　常系数线性齐次微分（差分）方程组的解164

7.3　实二次型理论的应用169

7.3.1　二次曲线方程的化简169

7.3.2　二次曲面方程的化简172

7.3.3　求函数极值的应用175

习题七178

第八章　线性代数实验180

8.1　Mathematica软件简介180

8.1.1 概述180

8.1.2　Mathematica的基本运算186

8.1.3 Mathematica的图形功能191

8.1.4　Mathematica的程序设计195

8.2.1 向量和矩阵的输入198

8.2　矩阵与向量的运算198

8.2.2　向量的运算200

8.2.3 矩阵的运算201

8.3　求解线性系统204

8.3.1　线性方程组的求解204

8.3.2　线性规划的求解205

8.4　矩阵的特征值、特征向量与二次型206

8.4.1　特征值与特征向量的计算206

8.4.2　二次型207

8.5　矩阵的分解207

8.5.1 矩阵的LU分解207

8.5.2　矩阵的QR分解208

习题八209

参考答案211