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目录1

第1章　引论1

1.1　学科简介1

1.2　实例与模型4

1.3　预备知识9

1.3.1　线性空间9

1.3.2　范数12

1.3.3　集合与序列14

1.3.4　矩阵的分解与校正15

1.3.5　函数的可微性与展开17

1.4　习题20

第2章　凸分析22

2.1　仿射集22

2.2　凸集与锥25

2.3　凸集分离定理27

2.3.1　点与凸集分离28

2.3.2　凸集与凸集分离31

2.4　多面体理论32

2.4.1　多面体的维数33

2.4.2　择一定理34

2.4.3 多面体的面和最小不等式表示38

2.4.4　多面体的表示定理44

2.5 凸函数49

2.5.1　基本性质49

2.5.2 函数凸性的判定方法52

2.6　习题54

第3章　线性规划57

3.1　线性规划的基本定理57

3.1.1　基本定理与标准形式58

3.1.2　极点的代数特征61

3.2　单纯形算法64

3.2.1　基本原理64

3.2.2　算法步骤与单纯形表67

3.2.3　启动机制70

3.3　线性规划的最优性条件77

3.4　对偶理论79

3.4.1　对偶定理79

3.4.2　对偶单纯形法84

3.5　单纯形算法的改进与推广88

3.5.1　修正单纯形法88

3.5.2　原始-对偶算法91

3.5.3　退化与循环94

3.5.4　Dantzig-Wolfe分解算法99

3.5.5　灵敏度分析104

3.6.1　算法复杂性概念108

3.6　线性规划内点算法108

3.6.2　单纯形算法的复杂性111

3.6.3　Karmarkar投影尺度算法114

3.6.4　原始-对偶尺度算法124

3.6.5　原始-对偶路径跟踪算法130

3.6.6 内点算法的其他策略137

3.7　习题144

第4章　无约束优化150

4.1　无约束优化的最优性条件150

4.2.1　一维搜索与收敛性152

4.2　算法收敛性152

4.2.2　算法映射与收敛性162

4.2.3　收敛速度与算法停止规则166

4.3　牛顿法170

4.3.1　迭代格式170

4.3.2　局部收敛性172

4.3.3　修正牛顿法174

4.3.4　非精确的牛顿法177

4.4　共轭方向与线性共轭梯度法179

4.4.1　共轭方向与扩张子空间定理179

4.4.2　线性共轭梯度法与二次终止性181

4.5　非线性共轭梯度法186

4.5.1　FR 共轭梯度法187

4.5.2　PRP共轭梯度法192

4.6　拟牛顿方法196

4.6.1　拟牛顿条件和算法步骤196

4.6.2　对称秩1校正公式197

4.6.3　对称秩2校正公式200

4.6.4　Broyden族208

4.7　习题213

5.1.1　一阶必要条件220

5.1　一阶最优性条件与约束规格220

第5章　约束优化220

5.1.2　约束规格226

5.1.3　一阶充分条件228

5.2　二阶最优性条件230

5.2.1　二阶必要条件231

5.2.2　二阶充分条件233

5.3　对偶理论235

5.3.1　对偶形式235

5.3.2　对偶定理237

5.3.3　鞍点定理240

5.4　二次规划242

5.4.1　基本性质244

5.4.2　等式约束的二次规划248

5.4.3　凸二次规划的积极约束集方法254

5.4.4　线性互补问题260

5.5　可行方向法265

5.5.1　Zoutendijk可行方向法266

5.5.2　Rosen梯度投影法268

5.5.3　Wolfe既约梯度法270

5.5.4　Frank-Wolfe线性化方法272

5.6　序列无约束化方法273

5.6.1　二次罚函数法275

5.6.2　对数障碍函数法280

5.6.3　乘子法284

5.7　逐次二次规划法289

5.7.1　Newton-Lagrange方法289

5.7.2　逐次二次规划的算法模型291

5.7.3　二次规划子问题的Hesse矩阵297

5.7.4　价值函数与搜索方向的下降性299

5.8　信赖域法305

5.8.1　信赖域法的基本原理305

5.8.2　子问题的精确求解法308

5.8.3　子问题的近似求解法313

5.8.4　信赖域法的全局收敛性318

5.9　习题319

第6章　多目标规划325

6.1　引言325

6.2 向量集的有效点与弱有效点327

6.2.1　几何特征328

6.2.2　代数特征330

6.3　多目标规划的解及其性质333

6.3.1　Pareto最优解333

6.3.2　KT-有效解与G-有效解335

6.4　多目标规划的解法338

6.3.3　最优性条件338

6.4.1　基于一个单目标问题的方法339

6.4.2　基于多个单目标问题的方法343

6.5　习题345

第7章　组合优化与整数规划347

7.1　网络流问题与算法348

7.1.1 图论中的基本概念348

7.1.2　最短路问题350

7.1.3　最大流与最小割问题352

7.1.4　最小费用网络流问题355

7.1.5　最大森林问题356

7.2　匹配问题与算法357

7.2.1 匹配与最大基数匹配357

7.2.2　二部图匹配359

7.3　整数规划的基本性质362

7.3.1　整数规划的模型363

7.3.2　整数规划的性质366

7.4　割平面法371

7.4.1　Gomory割平面法371

7.4.2　构造有效不等式的方法379

7.5.1　分支定界的基本原理381

7.5　分支定界法381

7.5.2　分支定界的算法步骤383

7.6　分解算法388

7.6.1　基于Lagrange松弛的分解算法388

7.6.2　Benders分解算法392

7.7　习题397

第8章　全局优化401

8.1　全局优化的基本概念与性质401

8.1.1　凸集的性质401

8.1.2　函数的连续性与凹凸性403

8.1.3　凸包络405

8.1.4　Lipschitz函数409

8.1.5 D.C．函数411

8.2　常见的全局优化模型413

8.2.1　二次规划413

8.2.2　凹极小化417

8.2.3　D.C．规划419

8.2.4　Lipschitz优化425

8.3　外逼近与割平面算法426

8.3.1　外逼近的基本原理427

8.3.2　割平面算法429

8.3.3　求解松弛问题的方法431

8.4　凹性割方法433

8.4.1　有效割与凹性割434

8.4.2　凹性割方法的收敛性437

8.4.3　反向凸约束的凹性割439

8.5　分支定界法441

8.5.1　基本算法442

8.5.2　多面体剖分444

8.5.3　定下界方法446

8.5.4　有限性和收敛性447

8.6　习题449

参考文献452

索引455