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第一章 绪论1

1 数值分析的对象与特点1

2 误差的基本概念1

2-1 误差的来源1

2-2 误差限3

3 有效数与机器数系4

3-1 有效数4

3-2 机器数系6

3-3 机器数系的运算及误差估计8

4 数值稳定问题12

4-1 数据误差的影响与条件数12

4-2 算法的数值稳定性18

习题一23

第二章 非线性方程的解法27

1 概述27

1-1 根的搜索27

1-2 二分法28

1-3 迭代法概述30

2 简单迭代法32

2-1 方法介绍32

2-2 迭代法的收敛性33

2-3 高阶迭代38

2-4 埃特金加速法39

3-1 求单根的牛顿法41

3 牛顿切线法41

3-2 牛顿法的变形45

3-3 重根的处理47

4 多项式方程的求根51

4-1 实系数多项式零点的分布52

4-2 劈因子法56

5 应用实例(薄壳结构的静力计算)61

5-1 问题的背景61

5-2 薄壳的基本方程式62

5-3 计算方法64

5-4 计算过程和结果65

习题二66

1 引言69

第三章 线性代数方程组数值解法69

2 消去法71

2-1 三角方程组的解法71

2-2 Gauss消去法72

2-3 选主元的Gauss消去法83

3 矩阵的直接分解及其在解方程组中的应用88

3-1 矩阵的直接分解88

3-2 Cholesky分解法97

3-3 追赶法102

4 方程组的性态与误差分析105

4-1 向量范数和矩阵范数106

4-2 方程组的性态、条件数114

4-3 误差分析119

5 迭代法121

5-1 Jacobi迭代法125

5-2 Gauss-Seidel迭代法128

5-3 迭代法的收敛性130

5-4 逐次超松弛迭代法143

6 应用实例(纯电阻型立体电路分析)147

6-1 问题的背景147

6-2 数学模型148

6-3 计算方法与结果分析149

习题三152

第四章 插值与逼近162

1 多项式插值164

1-1 Lagrange插值165

1-2 Newton差商型插值167

2 等距节点多项式插值174

3 重节点多项式插值177

3-1 Newton型Hermite插值178

3-2 Lagrange型Hermite插值183

4 分段插值与样条插值188

4-1 分段低次插值188

4-2 样条插值190

5 有理函数插值199

6 最佳一致逼近207

7 最佳平方逼近217

8 正交多项式226

8-1 正交多项式的定义与性质227

8-2 近似最佳一致逼近236

9 周期函数的逼近与快速Fourier变换242

9-1 周期函数的最佳平方逼近242

9-2 复值周期函数的最佳平方逼近245

9-3 快速Fourier变换(FFT)250

10 应用实例(用样条函数设计公路平面曲线)256

10-1 问题的背景256

10-2 数学模型256

10-3 计算方法与结果分析257

习题四262

1 数值积分的基本概念267

第五章 数值积分与数值微分267

1-1 构造数值求积公式的基本思想268

1-2 插值型求积公式268

1-3 插值型求积公式的截断误差271

1-4 代数精度272

2 等距节点求积公式275

2-1 Newton-Cotes公式275

2-2 复化求积法及其收敛性282

2-3 步长的自适应287

3 Romberg求积法289

3-1 Romberg求积公式290

3-2 Romberg求积法的一般公式294

4 Gauss型求积公式296

4-1 Gauss点与正交多项式的关系297

4-2 Gauss-Legend re公式300

4-3 Gauss公式的余项303

4-4 Gauss公式的稳定性与收敛性304

4-5 其它的Gauss型求积公式307

5 振荡函数的积分309

6 重积分的近似计算314

7 数值微分321

7-1 数值微分问题的提出321

7-2 插值型求导公式322

7-3 样条求导326

8-1 问题的背景328

8 应用实例(混频器中变频损耗的数值计算)328

8-2 数学模型330

8-3 计算方法与结果分析331

习题五333

第六章 常微分方程数值解法337

1 微分方程数值解法概述337

1-1 问题及基本假定337

1-2 离散化方法338

1-3 构造求解公式的途径339

2 Euler方法346

2-1 公式的推导346

2-2 公式的使用349

3-1 公式的推导353

3 Runge-Kutta方法353

3-2 高阶Runge-Kutta方法355

3-3 公式的使用359

3-4 隐式R-K方法366

4 单步法的收敛性与稳定性367

4-1 单步法的收敛性368

4-2 单步法的稳定性372

5 线性多步方法375

5-1 基于数值积分的构造方法375

5-2 Adams公式的使用382

5-3 基于Taylor展开的构造方法390

5-4 Milne、Simpson和Hamming公式的使用393

6-1 一阶微分方程组394

6 微分方程组与高阶微分方程394

6-2 刚性问题397

6-3 高阶微分方程399

7 边值问题的数值解法402

7-1 试射法402

7-2 差分法405

8 应用实例(磁流体发电通道的数值计算)407

8-1 问题的背景407

8-2 数学模型408

8-3 计算方法与结果分析410

习题六412

1 引言416

第七章 矩阵特征值的计算416

2-1 求主特征值的乘幂法419

2 幂法及反幂法419

2-2 幂法的加速技巧427

2-3 反幂法431

3 实对称矩阵的Jacobi法433

3-1 Jacobi法435

3-2 Jacobi法的变形442

4 Givens法和Housholder法443

4-1 把实对称矩阵约化为三对角阵444

4-2 Sturm序列与二分法449

5-1 基本算法452

5 QR算法452

5-2 具有位移的QR算法454

6 矩阵广义特征值的计算456

6-1 直接约化法456

6-2 行列式查找法458

习题七459

第八章 偏微分方程的数值解法463

1 抛物型方程的差分解法463

1-1 古典显格式与古典隐格式465

1-2 Richa rdson格式468

1-3 加权六点格式470

2-1 差分格式的相容性与收敛性476

2 差分格式的稳定性与收敛性476

2-2 差分格式的稳定性概念477

2-3 判别稳定性的Von-Neuman方法480

3 双曲型方程的差分解法486

3-1 双曲型方程解的特性486

3-2 一阶线性双曲型方程的差分格式488

3-3 二阶双曲型方程的差分格式495

4 变分原理499

4-1 初等变分思想499

4-2 常微分方程边值问题的变分原理503

4-2 椭圆型方程边值问题的变分原理507

5-1 区间剖分及基函数的选取511

5 常微分方程边值问题的有限元法511

5-2 有限元方程的形成513

5-3 有限元解法的步骤及例子518

6 Poisson方程的有限元法520

6-1 三角形剖分及基函数的构造520

6-2 有限元方程的形成524

6-3 有限元解法的步骤与例子527

7 应用实例(水污染方程的有限差分解法)531

7-1 问题的背景531

7-2 数学模型531

7-3 计算方法与结果分析532

习题八533

参考文献539