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第一部分 几何学发展概述3

第1章 几何学发展简史3

1欧几里得与《原本》4

1.1《原本》产生的历史背景4

1.2《原本》的结构与内容5

1.3《原本》的优缺点10

1.4《原本》对我国数学的影响11

2解析几何的诞生12

2.1笛卡儿和费马在创立解析几何中的贡献12

2.1.1笛卡儿的主要工作12

2.1.2费马的主要工作14

2.2解析几何的发展17

2.3解析几何的重要性18

3从透视学到射影几何19

3.1射影几何的由来19

3.2射影几何的发展21

3.3平面射影几何公理体系24

4非欧几何的产生与非欧几何公理体系25

4.1非欧几何的产生背景25

4.2非欧几何的形成27

4.3非欧几何的发展与确认30

5几何学的统一与公理化思想32

5.1几何学的统一32

5.2几种几何学的比较34

5.3公理化思想方法36

6几何学的近现代发展简介40

6.1微分几何40

6.2拓扑学41

练习142

第2章 非欧几何的几种典型模型43

1锐角假设与罗氏几何43

1.1锐角假设与双曲几何43

1.2双曲几何的代表——罗氏几何简介44

1.3真理性讨论45

2钝角假设与球面几何47

2.1钝角假设与椭圆几何47

2.2椭圆几何的代表——球面几何简介47

2.2.1球面上的基本图形47

2.2.2球面三角形49

3非欧几何的实现模型52

3.1克莱因模型52

3.2庞加莱模型54

练习256

第二部分 欧氏几何、仿射几何与射影几何59

第3章 欧氏几何与二次曲线的度量性质及分类59

1直角坐标系、欧氏平面、变换群与等距变换59

1.1直角坐标系与欧氏平面59

1.2变换群60

1.2.1映射与变换的定义60

1.2.2二维平面上的点变换及其代数表达式60

1.2.3映射的乘积与逆62

1.2.4变换的不动元素与不动子集63

1.2.5变换群的概念64

1.3等距变换65

1.3.1等距变换的定义和代数表达式65

1.3.2等距变换的直观实现66

1.3.3等距变换的性质67

2二次曲线的度量性质68

2.1欧氏平面上二次曲线的定义及基本概念68

2.2二次曲线与直线的相关位置69

2.3二次曲线的渐近方向、中心、渐近线70

2.3.1二次曲线的渐近方向70

2.3.2二次曲线的中心与渐近线71

2.4二次曲线的切线73

2.5二次曲线的直径76

2.5.1二次曲线的直径76

2.5.2共轭方向与共轭直径78

2.6二次曲线的主直径与主方向79

3利用平面直角坐标变换化简二次曲线的方程与分类83

3.1平面直角坐标变换83

3.2利用平面直角坐标变换化简二次曲线的方程与分类84

练习393

第4章 仿射坐标系、仿射平面与仿射变换97

1仿射坐标系与仿射平面97

1.1平行射影97

1.2仿射坐标系与仿射平面100

2仿射变换的相关问题101

2.1仿射变换的代数表达式101

2.2关于仿射变换的确定及其重要定理103

2.3仿射平面上直线的几个常用结论105

2.4几种重要的仿射变换109

2.5仿射性质110

练习4111

第5章 从仿射平面到射影平面113

1扩大的仿射平面113

1.1中心射影和无穷远元素113

1.2射影直线和射影平面以及它们的性质115

1.3射影平面的拓扑模型117

1.4图形的射影性质118

2齐次仿射坐标119

2.1点的齐次仿射坐标120

2.2直线的齐次仿射坐标方程121

2.3齐次仿射线坐标124

3德萨格定理与平面对偶原理125

3.1德萨格定理125

3.2平面上的对偶原理127

4交比与调和共轭129

4.1点列中四点的交比129

4.2线束中4条直线的交比134

练习5137

第6章 射影坐标系与射影变换141

1射影坐标系141

1.1直线上的射影坐标系141

1.2平面上的射影坐标系143

2射影变换146

2.1透视对应及其相关概念146

2.1.1点列与线束的透视对应146

2.1.2点列与线束的射影对应148

2.2射影变换151

2.2.1一维射影变换151

2.2.2一维射影变换有一种特殊情况——对合153

2.2.3二维射影变换154

3射影对应（变换）的代数表达式和帕普斯定理155

3.1一维射影对应（变换）的代数表达式155

3.2二维射影对应（变换）的代数表达式158

3.3帕普斯定理162

4变换群与几何学的关系163

4.1平面上的几个重要变换群163

4.2欧氏几何与欧氏群163

4.3克莱因变换群观点简介164

4.4射影几何、仿射几何和欧氏几何间的比较165

练习6166

第7章 二次曲线的性质与分类169

1二次曲线的射影性质169

1.1二阶曲线与二级曲线的定义169

1.2二次曲线的射影定义172

1.3二阶曲线与二级曲线的关系173

1.4帕斯卡和布利安桑定理176

1.5二次曲线的极点与极线178

1.6配极原则与配极对应181

2二次曲线的射影分类182

2.1二阶曲线的奇异点183

2.2二次曲线的射影分类185

3二次曲线的仿射性质187

3.1二次曲线与无穷远直线的相关位置188

3.2二次曲线的中心189

3.3二次曲线的直径与共轭直径191

3.4二次曲线的渐近线195

4二次曲线的仿射分类197

练习7198

第三部分“大学几何”与“中学几何”203

第8章“大学几何”对“中学几何”的指导意义203

1中学几何的研究内容及方法203

1.1几何学的研究对象及分类203

1.2中学几何的主要研究内容204

1.3中学几何的基本研究方法205

2“大学几何”与“中学几何”的联系207

3“大学几何”对“中学几何”教学的指导意义207

3.1高等师范院校数学教学改革中几何课程改革的重要性与必要性208

3.2用现代数学的观点看待“中学几何”208

练习8211

第9章“大学几何”方法在“中学几何”中的应用212

1“向量法”与“坐标法”在中学几何中的应用212

1.1用向量法证明共点（或共线）问题212

1.2用向量法证明垂直（或平行）问题214

1.3有关夹角或距离问题的例子216

1.4有关面积、体积问题的例子218

2仿射及射影几何方法在中学几何中的应用220

2.1仿射方法在中学几何中的应用220

2.2射影方法在中学几何中的应用222

练习9224

参考文献226