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第一篇 数理逻辑第1章 命题逻辑3

1.1 命题与联结词3

1.1.1 命题及其表示3

1.1.2 联结词4

1.2 命题公式与翻译5

1.2.1 命题公式5

1.2.2 命题的翻译6

1.3 真值表与等价公式7

1.3.1 真值表7

1.3.2 公式分类8

1.3.3 等价公式9

1.3.4 代入规则和替换规则10

1.4 对偶原理与蕴含式11

1.4.1 对偶原理11

1.4.2 蕴含式12

1.5 联结词的扩充与功能完全组14

1.5.1 其他联结词14

1.5.2 联结词的功能完全组16

1.6 范式17

1.6.1 析取范式与合取范式17

1.6.2 主析取范式与主合取范式19

1.7 命题逻辑的推理理论24

1.7.1 推理的基本概念24

1.7.2 推理常用方法25

习题一28

第2章 谓词逻辑33

2.1 谓词逻辑的基本概念33

2.1.1 个体、谓词和命题的谓词形式33

2.1.2 原子谓词34

2.1.3 量词34

2.2 谓词公式与翻译35

2.2.1 谓词公式35

2.2.2 谓词逻辑的翻译36

2.3 变元的约束37

2.4 谓词演算的等价式与蕴含式39

2.5 谓词公式范式43

2.5.1 前束范式43

2.5.2 斯柯伦范式43

2.6 谓词演算的推理理论44

2.6.1 有关量词的规则44

2.6.2 谓词逻辑推理实例45

习题二47

第二篇 集合论53

第3章 集合与关系53

3.1 集合的基本概念53

3.2 集合的运算与性质55

3.2.1 集合的运算55

3.2.2 集合的运算与性质57

3.3 序偶与笛卡尔积58

3.3.1 序偶及序偶的推广58

3.3.2 笛卡尔积59

3.4 关系及其表示方法61

3.4.1 关系61

3.4.2 几种特殊的关系62

3.4.3 关系的表示方法62

3.5 关系的性质63

3.5.1 关系的五种特殊性质64

3.5.2 关系图、关系矩阵与关系的性质64

3.6 关系的运算65

3.6.1 关系的集合运算65

3.6.2 复合关系65

3.6.3 逆关系68

3.6.4 闭包运算70

3.7 集合的划分和覆盖74

3.8 等价关系76

3.8.1 等价关系的定义76

3.8.2 等价类及其性质76

3.8.3 等价关系与划分的一一对应77

3.9 相容关系79

3.10 偏序关系81

3.10.1 偏序关系的定义81

3.10.2 偏序关系的哈斯图81

3.10.3 偏序集中特殊位置的元素83

习题三85

第4章 函数87

4.1 函数的概念87

4.1.1 函数的定义87

4.1.2 函数的相等88

4.1.3 特殊的函数89

4.2 函数的运算90

4.2.1 复合函数90

4.2.2 逆函数93

习题四94

第三篇 代数系统第5章 代数系统99

5.1 代数系统的基本概念99

5.2 运算及其性质100

5.3 同态与同构105

5.4 同余关系112

习题五115

第6章 典型代数系统118

6.1 半群与群118

6.1.1 半群与独异点118

6.1.2 群的定义与性质123

6.1.3 阿贝尔群、置换群与循环群125

6.1.4 子群、陪集与拉格朗日定理131

6.1.5 群同态与群同构136

6.2 环与域139

6.2.1 环139

6.2.2 域143

6.3 格与布尔代数144

6.3.1 格144

6.3.2 布尔代数152

习题六159

第四篇 图论165

第7章 图论基础165

7.1 图的基本概念165

7.2 路与回路169

7.3 图的矩阵表示174

习题七185

第8章 几类典型的图188

8.1 欧拉图与哈密尔顿图188

8.1.1 欧拉图188

8.1.2 哈密尔顿图190

8.2 二部图和平面图194

8.2.1 二部图194

8.2.2 平面图198

8.3 树204

8.3.1 树与生成树204

8.3.2 根树及其应用210

习题八215

第五篇 组合学221

第9章 基本计数原理221

9.1 排列与组合221

9.1.1 加法原理与乘法原理221

9.1.2 集合的排列和组合222

9.1.3 重集的排列和组合225

9.2 容斥原理228

9.2.1 容斥原理228

9.2.2 容斥原理的应用230

9.3 鸽巢原理233

9.4 二项式定理和二项式系数235

9.4.1 二项式定理235

9.4.2 Pascal三角形和组合等式236

9.4.3 二项式系数的推广和Newton二项式定理239

9.5 集合的分划与第二类Stirling数240

9.6 正整数的分拆242

9.7 分配问题244

习题九248

第10章 生成函数、递推关系与Pólya计数251

10.1 生成函数251

10.1.1 离散数值函数251

10.1.2 生成函数及其性质254

10.1.3 用生成函数法解组合问题257

10.1.4 指数型生成函数258

10.2 递推关系262

10.2.1 两个递推关系的实例262

10.2.2 递推关系和常系数线性递推关系263

10.2.3 利用特征方程求解常系数线性递推关系264

10.2.4 利用生成函数法求解常系数线性递推关系268

10.3 Pólya计数270

10.3.1 引论270

10.3.2 计数问题的数学模型274

10.3.3 Burnside引理275

10.3.4 映射的等价类281

10.3.5 Pólya计数定理283

习题十289

参考文献295