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第1章 数值计算方法与误差分析1

1.1 数值计算方法1

1.2 误差的来源与误差分析的重要性2

1.3 近似数的误差表示法3

1.3.1 绝对误差与相对误差3

1.3.2 舍入误差与有效数字4

1.4 数值运算误差分析5

1.5 数值计算中的一些基本原则6

1.5.1 算法的数值稳定性6

1.5.2 避免误差危害的若干原则7

1.6 数学软件9

1.7 应用实例：计算圆周率π的算法10

1.8 习题12

第2章 非线性方程的数值解法14

2.1 二分法14

2.2 迭代法及其收敛性15

2.2.1 不动点迭代法16

2.2.2 不动点迭代法的全局收敛17

2.2.3 局部收敛性与收敛阶19

2.2.4 不动点迭代法的加速20

2.3 Newton迭代法21

2.3.1 Newton迭代格式21

2.3.2 Newton迭代法的收敛性23

2.3.3 Newton迭代法的变形26

2.4 利用数学软件求解非线性方程29

2.4.1 MATLAB相关函数介绍29

2.4.2 MATLAB直接求解非线性方程29

2.4.3 MATLAB编程求解非线性方程30

2.5 应用实例：混沌（Chaos）问题34

2.6 习题38

第3章 线性方程组的数值解法41

3.1 消元法41

3.1.1 Gauss消元法41

3.1.2 列主元Gauss消元法43

3.1.3 Gauss-Jordan消元法45

3.2 矩阵三角分解法46

3.2.1 矩阵的三角分解46

3.2.2 解线性方程组的三角分解51

3.2.3 平方根法53

3.2.4 追赶法55

3.3 向量与矩阵的范数57

3.3.1 向量范数58

3.3.2 矩阵范数59

3.4 消元法的误差分析61

3.5 迭代法64

3.5.1 Jacobi迭代65

3.5.2 Gauss-Seidel迭代67

3.5.3 超松弛（SOR）迭代68

3.6 迭代法的收敛性70

3.7 利用数学软件求解线性方程组73

3.7.1 利用MATLAB命令直接求解73

3.7.2 利用MATLAB编程求解74

3.8 应用实例——投入产出分析79

3.9 习题84

第4章 函数的插值与曲线拟合88

4.1 引言88

4.1.1 插值问题与插值多项式88

4.1.2 插值多项式的存在唯一性89

4.2 Lagrange插值89

4.2.1 线性插值89

4.2.2 抛物线插值90

4.2.3 Lagrange插值多项式91

4.2.4 插值余项92

4.3 均差与Newton插值95

4.3.1 均差及其性质95

4.3.2 Newton插值公式96

4.4 等距节点插值97

4.4.1 差分97

4.4.2 等距节点Newton插值公式98

4.5 Hermite插值99

4.6 分段插值101

4.6.1 高次多项式插值的Runge现象101

4.6.2 分段线性插值102

4.6.3 分段三次Hermite插值103

4.7 样条插值103

4.7.1 三次样条函数103

4.7.2 样条插值函数的建立104

4.7.3 三次样条插值收敛性106

4.8 曲线拟合的最小二乘法106

4.9 利用数学软件求解插值与拟合问题108

4.9.1 MATLAB相关函数介绍108

4.9.2 用MATLAB直接求解插值及拟合问题108

4.9.3 Lagrange插值的MATLAB程序109

4.9.4 Newton插值的MATLAB程序110

4.9.5 等距节点Newton插值的MATLAB程序110

4.10 应用实例：给药方案设计111

4.11 习是113

第5章 数值积分与数值微分115

5.1 数值积分概述115

5.1.1 数值积分的基本思想115

5.1.2 代数精度116

5.1.3 插值型求积公式117

5.2 Newton-Cotes公式119

5.2.1 公式的导出119

5.2.2 代数精度121

5.2.3 低阶求积公式的余项121

5.2.4 复化求积法及其收敛性122

5.3 变步长求积和Romberg算法124

5.3.1 变步长梯形求积法124

5.3.2 外推法与Romberg算法125

5.4 Gauss型求积公式127

5.4.1 概述127

5.4.2 Gauss-Legendre求积公式228

5.4.3 Gauss型求积公式的稳定性130

5.5 数值微分130

5.5.1 机械求导法130

5.5.2 插值型求导公式131

5.6 利用数学软件求解数值积分与数值微分133

5.6.1 数值积分133

5.6.2 数值微分134

5.7 应用实例——计算定积分的Monte Carlo方法135

5.8 习题137

第6章 常微分方程初值问题的数值解法139

6.1 Euler法与改进的Euler法140

6.1.1 Euler法140

6.1.2 改进的Euler法142

6.2 Runge-Kutta法145

6.2.1 Runge-Kutta方法的基本思想145

6.2.2 二阶Runge-Kutta方法146

6.2.3 三阶与四阶Runge-Kutta方法147

6.3 单步法的收敛性和稳定性150

6.3.1 单步法的收敛性150

6.3.2 单步法的稳定性152

6.4 线性多步法153

6.4.1 Adams显式法与Adams隐式法154

6.4.2 Milne方法157

6.4.3 Hamming方法158

6.5 方程组与高阶方程的数值解法159

6.5.1 一阶常微分方程组的数值解法159

6.5.2 高阶微分方程的初值问题161

6.6 利用数学软件求解常微分方程161

6.6.1 利用MATLAB命令直接求解161

6.6.2 利用MATLAB编程求解164

6.7 应用实例：导弹追击问题167

6.8 习题172

第7章 矩阵的特征值与特征向量174

7.1 引言174

7.2 幂法与反幂法175

7.2.1 幂法175

7.2.2 反幂法180

7.3 Jacobi方法182

7.4 QR方法184

7.5 利用数学软件求解矩阵的特征值与特征向量186

7.6 应用实例：主成分分析方法的应用188

7.7 习题190

附录193

附录A 部分习题答案193

附录B MATLAB软件简介203

参考文献237