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第0章 引言1

第1章 命题逻辑10

1.1 基本问题10

1.2 命题表达式12

1.3 逻辑赋值与可满足性14

1.4 布尔函数可表示性16

1.5 可证明性与一致性19

1.6 形式证明的几组例子22

1.7 完备性28

1.8 第一完备性证明30

1.9 命题逻辑紧致性34

1.10 命题范式35

1.11 命题逻辑与布尔代数38

1.12 练习40

第2章 一阶语言和一阶结构43

2.1 一组经典例子43

2.2 一阶语言44

2.2.1 符号44

2.2.2 项45

2.2.3 表达式47

2.2.4 自由变元和受囿变元50

2.2.5 替换与可替换性51

2.3 一阶结构52

2.3.1 项赋值53

2.3.2 满足关系54

2.3.3 局部确定性定理55

2.3.4 替换定理59

2.3.5 缩写表达式68

2.4 几个一阶语言和结构的例子69

2.5 数与数的集合79

2.5.1 自然数81

2.5.2 整数84

2.5.3 有理数85

2.5.4 实数86

2.5.5 复数91

2.6 练习91

第3章 一阶结构之同构、同样与同质93

3.1 预备知识：可数与不可数93

3.2 一阶结构之同构与同样95

3.2.1 有理数轴95

3.2.2 同构100

3.2.3 同样103

3.3 可定义性104

3.3.1 可定义性104

3.3.2 不变性107

3.3.3 实数轴区间定理108

3.4 同质子结构110

3.4.1 子结构、扩充结构与裁减结构110

3.4.2 结构元态与全息图112

3.4.3 同质子结构112

3.4.4 同质与同样113

3.4.5 塔尔斯基判定准则114

3.4.6 实数轴同质子轴116

3.4.7 同质缩小定理117

3.4.8 稠密线性序120

3.4.9 嵌入与同质嵌入120

3.5 练习123

第4章 逻辑推理与逻辑结论128

4.1 逻辑推理128

4.1.1 逻辑公理128

4.1.2 推理129

4.2 推理细致分析定理130

4.2.1 演绎定理130

4.2.2 全体化定理133

4.2.3 常元省略定理133

4.2.4 等式定理136

4.3 逻辑结论138

4.3.1 可满足性138

4.3.2 真实性与模型138

4.3.3 逻辑结论140

4.3.4 基本问题141

4.3.5 范例141

4.4 一阶逻辑系统之完备性149

4.4.1 可靠性定理149

4.4.2 哥德尔完备性定理152

4.4.3 极大一致性152

4.4.4 自显存在特性153

4.4.5 可满足性定理155

4.4.6 扩展定理164

4.4.7 节省常元方法166

4.5 LA-哥德尔完备性定理168

4.5.1 谓词符省略引理169

4.5.2 函数符省略引理169

4.5.3 无关符号忽略定理170

4.5.4 前束范式171

4.6 练习176

第5章 同质放大模型178

5.1 紧致性定理178

5.1.1 关于有限之概念178

5.1.2 关于秩序之概念182

5.2 同质放大定理182

5.3 第二紧致性定理184

5.4 超积和超幂186

5.4.1 超滤子存在定理186

5.4.2 超积与超幂187

5.4.3 超积基本定理189

5.4.4 超积构造六例191

5.5 同质放大链193

5.6 练习199

第6章 完全性与模型完全性202

6.1 完全性202

6.1.1 等势同构205

6.1.2 有理数区间代数理论206

6.1.3 可数广集模型209

6.2 量词消去210

6.2.1 完全性充分条件213

6.2.2 Todl适合量词消去214

6.3 子结构完全性222

6.3.1 Todl具备子结构完全性226

6.3.2 T？A具备子结构完全性227

6.4 模型完全性228

6.4.1 量词简化231

6.4.2 模型完全性与Ⅱ2-理论236

6.5 练习237

第7章 可数模型240

7.1 类型排斥定理240

7.1.1 类型240

7.1.2 接纳与排斥242

7.1.3 例子246

7.1.4 根本型248

7.1.5 局部排斥型249

7.1.6 型排斥定理251

7.2 可数等势同构类型特征256

7.2.1 可数等势同构特征定理256

7.2.2 可数模型的个数与Vaught猜想261

7.3 类型空间261

7.3.1 稳定性263

7.3.2 型与超滤子265

7.4 饱和模型268

7.4.1 有理数轴饱和性268

7.4.2 饱和结构270

7.4.3 可数饱和模型271

7.4.4 ω1-饱和结构277

7.5 基本模型279

7.6 极度自同构模型287

7.6.1 非刚性与无差别元集287

7.6.2 自然数集合划分定理289

7.6.3 无穷无差别元子集模型定理293

7.6.4 内置斯科伦函数与斯科伦闭包294

7.7 练习298

第8章 代数封闭域理论301

8.1 代数封闭域同构分类301

8.2 代数封闭域适合消去量词302

8.3 ACF子结构完全性307

8.4 代数封闭域饱和特性308

8.5 复数域与特征为素数的代数封闭域310

8.6 练习313

第9章 实封闭域理论315

9.1 实数域公理化315

9.2 实封闭域理论与有序实封闭域理论320

9.3 有序实封闭域理论适合消去量词323

9.4 实封闭域模型完全性325

9.5 半代数子集327

9.6 练习334

第10章 有理数加法算术理论336

10.1 有理数加法群理论336

10.1.1 公理刻画Tdag336

10.1.2 Tdag-完全性337

10.1.3 Tdag强极小性342

10.1.4 T？-理论342

10.1.5 序可定义性问题343

10.2 有理数有序加法群理论345

10.2.1 公理刻画Todag345

10.2.2 Toddag-完全性347

10.2.3 Todag-序极小性349

10.3 练习350

第11章 整数加法算术理论352

11.1 多种整数加法算术理论352

11.1.1 六个结构352

11.1.2 三种公理化353

11.2 强整数加法群理论356

11.2.1 特征0模数同余加法群理论356

11.2.2 整数序不可定义性361

11.3 整数有序强加法群理论362

11.3.1 有序模数同余加法群理论362

11.4 普瑞斯柏格算术理论369

11.4.1 初等整数有序加法理论TI369

11.4.2 非标准模型Z0370

11.4.3 普瑞斯柏格算术理论Tpr371

11.4.4 Tpr之保守扩充372

11.5 练习378

第12章 自然数序理论与有序加法理论381

12.1 自然数序理论381

12.1.1 自然数序公理化381

12.1.2 半整齐模型384

12.1.3 自然数序之饱和模型390

12.1.4 自然数序理论完全性395

12.2 自然数有序加法理论399

12.2.1 有序强加法幺半群理论399

12.2.2 有序模数同余加法幺半群理论400

12.2.3 保守扩充T？411

12.3 练习411

第13章 自然数算术理论415

13.1 初等数论416

13.1.1 初等数论之不完全性416

13.1.2 TN与自然数∑1真相419

13.1.3 Σ1真相定理之形式证明424

13.2 哥德尔第一不完全性定理430

13.2.1 序列数432

13.2.2 符号数与表示数435

13.2.3 基本逻辑概念表示437

13.2.4 逻辑公理谓词439

13.2.5 可计算性与递归函数443

13.2.6 有效公理化与可判定性449

13.2.7 可表示性451

13.2.8 哥德尔不动点引理456

13.2.9 哥德尔第一不完全性定理457

13.2.10 不可判定性与真相不可定义性459

13.3 哥德尔第二不完全性定理460

13.3.1 依定义扩充461

13.3.2 皮阿诺算术理论递归扩充468

13.3.3 TPA递归扩充之∑1-完全性477

13.3.4 PAf知道TPA之∑1完全性480

13.3.5 一个不可被TPA所证明的П1真语句483

13.3.6 形式化PAf之证明485

13.4 巴黎-哈灵顿划分原理之独立性488

13.4.1 自然数压缩写像划分原理488

13.4.2 拉姆齐有限划分定理492

13.4.3 皮阿诺算术模型中无差别元子集493

13.4.4 巴黎-哈灵顿划分原理独立于皮阿诺算术理论497

13.5 练习499

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