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第一篇 微积分1

第一章 函数、极限与连续1

1.1 函数1

一、考核内容要点1

二、补充公式与结论5

三、典型问题与方法技巧5

1．考查函数各种特性问题5

2．函数复合问题6

1.2 极限7

一、考核内容要点7

二、补充公式与结论11

三、典型问题与方法技巧12

1．考查极限概念及性质问题12

2．求极限问题13

3．关于无穷小阶的问题24

1.3 函数的连续性与间断点26

一、考核内容要点26

二、典型问题与方法技巧27

1．判断函数f（x）在某点X0处连续与间断问题27

2．利用闭区间上连续函数性质证明问题29

强化训练（一）31

第二章 一元函数微分学35

2.1 导数与微分35

一、考核内容要点35

二、补充公式与结论39

三、典型问题与方法技巧40

1．考查导数、微分概念的问题40

2．导数与微分的计算问题43

3．求高阶导数问题46

4．利用导数求平面曲线的切线方程、法线方程问题49

2.2 微分中值定理51

一、考核内容要点51

二、典型问题与方法技巧53

1．利用罗尔定理证明中值问题54

2．利用拉格朗日中值定理证明中值问题57

3．利用柯西中值定理证明中值问题59

4．利用泰勒公式证明中值问题60

5．综合题61

2.3 导数应用63

一、考核内容要点63

二、典型问题与方法技巧66

1．函数的单调性、单调区间及极值问题66

2．函数曲线的凹凸区间、拐点及渐近线问题70

3．方程实根（函数零点，两曲线交点）问题73

4．不等式的证明问题74

5．导数在经济中的应用问题77

强化训练（二）78

第三章 一元函数积分学84

3.1 不定积分84

一、考核内容要点84

二、典型问题与方法技巧89

1．关于原函数与不定积分的基本概念性问题89

2．不定积分的计算问题90

3．综合题91

3.2 定积分93

一、考核内容要点93

二、补充公式与结论96

三、典型问题与方法技巧97

1．关于定积分概念及性质的问题97

2．关于变限积分的问题99

3．利用基本积分公式及积分法计算定积分101

4．几种重要类型被积函数的积分103

5．定积分证明问题105

6．反常积分问题107

3.3 定积分应用108

一、考核内容要点108

二、典型问题与方法技巧110

1．求平面图形面积问题110

2．求旋转体的体积问题111

强化训练（三）112

第四章 多元函数微分学117

4.1 多元函数的极限与连续、偏导数与全微分117

一、考核内容要点117

二、典型问题与方法技巧119

1．关于多元函数连续性、可导性及可微性问题119

2．求多元复合函数的偏导数或全微分问题122

3．求方程确定的隐函数的偏导数、全微分问题125

4.2 多元函数的极值与最值127

一、考核内容要点127

二、典型问题与方法技巧128

1．求多元函数无条件极值问题128

2．求多元函数条件极值问题130

3．求多元函数在闭区域上的最值问题131

强化训练（四）132

第五章 二重积分136

一、考核内容要点136

二、典型问题与方法技巧140

1．交换积分次序问题140

2．利用基本方法计算二重积分142

3．被积函数为分段函数及隐含分段函数的二重积分问题144

4．综合题145

强化训练（五）147

第六章 无穷级数150

6.1 数项级数150

一、考核内容要点150

二、补充公式与结论152

三、典型问题与方法技巧153

1．判定数项级数收敛性问题153

2．数项级数求和问题157

6.2 幂级数158

一、考核内容要点158

二、典型问题与方法技巧163

1．求幂级数的收敛半径、收敛区间与收敛域问题163

2．求函数的幂级数展开式问题164

3．求幂级数的和函数与数项级数求和问题166

强化训练（六）169

第七章 常微分方程与差分方程173

一、考核内容要点173

二、典型问题与方法技巧176

1．求解一阶微分方程问题176

2．一阶常系数线性差分方程问题182

3．求解高阶常系数线性微分方程问题182

强化训练（七）186

第二篇 线性代数190

第一章 行列式190

一、考核内容要点190

二、补充公式与结论195

三、典型问题与方法技巧197

1．关于余子式、代数余子式问题197

2．数值型行列式的计算问题198

3．抽象型行列式的计算问题202

4．克拉默法则应用问题205

强化训练（一）207

第二章 矩阵210

一、考核内容要点210

二、补充公式与结论216

三、典型问题与方法技巧218

1．有关矩阵基本运算的问题218

2．求数值型矩阵的逆矩阵问题220

3．求抽象型矩阵的逆矩阵问题222

4．讨论（证明）矩阵可逆性问题223

5．解矩阵方程问题224

6．有关初等变换和初等矩阵问题226

7．有关矩阵秩的问题228

强化训练（二）232

第三章 向量236

一、考核内容要点236

二、补充公式与结论239

三、典型问题与方法技巧240

1．判别数值型向量组的线性相关性问题240

2．判别抽象型向量组的线性相关性问题242

3．考查数值型向量（组）的线性表示及等价性问题245

4．考查抽象型向量（组）的线性表示问题249

5．向量组的极大无关组与秩的问题251

强化训练（三）253

第四章 线性方程组257

一、考核内容要点257

二、补充公式与结论263

三、典型问题与方法技巧263

1．考查线性方程组解的判定、性质与结构问题263

2．有关基础解系的论证问题267

3．数值型线性方程组求解问题269

4．抽象型线性方程组求解问题273

5．求两个线性方程组的公共解的问题276

6．讨论两个线性方程组解的关系问题279

强化训练（四）281

第五章 矩阵的特征值和特征向量287

一、考核内容要点287

二、补充公式与结论292

三、典型问题与方法技巧292

1．求数值型矩阵的特征值、特征向量问题292

2．求抽象型矩阵的特征值、特征向量问题295

3．特征值、特征向量的逆问题297

4．矩阵相似对角化问题299

5．矩阵相似的判定问题302

6．实对称矩阵的特征值、特征向量及相似对角化问题305

7．特征值和特征向量的应用问题307

强化训练（五）311

第六章 二次型317

一、考核内容要点317

二、补充公式与结论320

三、典型问题与方法技巧320

1．考查二次型的秩及正、负惯性指数等基本概念性问题320

2．化二次型为标准形问题322

3．考查二次型或对称矩阵的正定性问题328

强化训练（六）329

第三篇 概率论与数理统计333

第一章 随机事件与概率333

一、考核内容要点333

二、补充公式与结论336

三、典型问题与方法技巧337

1．考查随机事件的关系与运算及其逆问题337

2．利用四种概型求概率问题339

3．利用概率的公式、性质求概率问题343

强化训练（一）345

第二章 随机变量及其分布348

一、考核内容要点348

二、补充公式与结论352

三、典型问题与方法技巧353

1．考查随机变量概率分布（分布函数、概率密度、分布律）的概念性问题及确定其中未知参数的问题353

2．求随机变量的概率分布问题355

3．利用已知概率分布求概率问题358

4．求随机变量函数的分布问题361

强化训练（二）367

第三章 多维随机变量及其分布372

一、考核内容要点372

二、补充公式与结论379

三、典型问题与方法技巧379

1．求二维随机变量的概率分布（联合分布、边缘分布、条件分布）及其中未知参数问题379

2．利用二维概率分布求概率问题388

3．求二维随机变量函数的分布问题393

强化训练（三）398

第四章 随机变量的数字特征404

一、考核内容要点404

二、补充公式与结论406

三、典型问题与方法技巧406

1．求随机变量的数学期望与方差问题406

2．求随机变量函数的数学期望与方差问题409

3．求协方差、相关系数及讨论随机变量相关性问题415

4．数字特征应用题419

强化训练（四）420

第五章 大数定律与中心极限定理424

一、考核内容要点424

二、典型问题与方法技巧426

1．利用切比雪夫不等式估算概率问题426

2．考查大数定律的问题427

3．考查中心极限定理的问题428

强化训练（五）430

第六章 数理统计433

一、考核内容要点433

二、典型问题与方法技巧437

1．求统计量的分布问题437

2．求统计量的数字特征问题439

3．求参数的点估计问题442

强化训练（六）447