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第1部分 课程简介1

第1讲 数学建模课程简介3

1.1 数学模型与数学建模3

1.2 数学建模的一般过程4

1.3 学习该课程的要求5

1.4 求解数学模型与数学题目的不同之处6

1.5 习题8

第2部分 科学计算的技术和方法9

第2讲 求函数最值11

2.1 应用几何直观对二元函数最优解的分析11

2.2 Lagrange乘数法14

2.3 习题17

第3讲 快速傅里叶变换19

3.1 问题背景19

3.2 傅里叶变换及其计算19

3.3 傅里叶变换应用举例22

3.4 习题25

第4讲 数值积分法26

4.1 自适应积分法26

4.2 高斯积分法29

4.3 R函数32

4.4 习题33

第5讲 求解非线性系统34

5.1 求解一般非线性方程组34

5.2 求解大型非线性方程组37

5.3 求解非线性优化问题41

5.4 习题42

第6讲 一阶常微分方程的数值求解43

6.1 一阶常微分方程数值求解的经典方法43

6.2 数值求解一阶常微分方程R函数及实例48

6.3 习题49

综合考查题（1）51

第3部分 处理数据的技术和方法53

第7讲 数据描述性分析55

7.1 统计学的若干基本概念55

7.2 数字特征55

7.3 数据的分布60

7.4 习题62

第8讲 随机数的生成64

8.1 伪随机数的生成64

8.2 连续型随机数的生成64

8.3 离散型随机数的生成67

8.4 习题70

第9讲 模拟应用举例72

9.1 模拟与积分72

9.2 均方误差的估计——自助法79

9.3 习题82

第10讲 非参数检验的方法与技术83

10.1 总体中无未知参数的拟合优度检验83

10.2 总体中含未知参数的拟合优度检验87

10.3 两样本数据分析90

10.4 习题94

第11讲 线性预测与方差分析95

11.1 线性预测技术95

11.2 单因子方差分析101

11.3 习题106

第12讲 曲线光滑技术107

12.1 概率密度估计107

12.2 非参数回归光滑110

12.3 习题113

综合考查题（2）115

第4部分 数学建模的实例117

第13讲 建模过程的体验——海运公司运费降价促销问题119

13.1 问题119

13.2 问题分析与简化119

13.3 模型建立120

13.4 模型求解与结果分析121

13.5 模型的进一步讨论122

13.6 习题123

第14讲 数学规划模型之一——奶制品的生产与销售124

14.1 加工奶制品的生产计划124

14.2 奶制品的生产销售计划127

14.3 习题131

第15讲 数学规划模型之二——投资效益问题133

15.1 投资效益问题133

15.2 销售代理的开发134

15.3 选课策略136

15.4 习题140

第16讲 矩阵代数模型——投入产出综合平衡问题141

16.1 引言141

16.2 价值型投入产出模型141

16.3 实物型投入产出模型144

16.4 投入产出表的产生和发展147

16.5 习题148

第17讲 常微分方程模型之一——生物群体的变化和发展150

17.1 单物种群体模型150

17.2 相互竞争的两物种群体系统153

17.3 两物种弱肉强食模型155

17.4 大鱼—小鱼系统模型156

17.5 习题157

第18讲 常微分方程模型之二——经济增长模型158

18.1 柯布—道格拉斯（Cobb-Douglas）生产函数概述158

18.2 柯布—道格拉斯生产函数的基本形式158

18.3 柯布—道格拉斯生产函数模型实例160

18.4 资金与劳动力的最佳分配161

18.5 劳动生产率增长的条件161

18.6 习题163

第19讲 差分方程模型之一——减肥计划的制订164

19.1 减肥计划——节食与运动164

19.2 按年龄分组的种群增长167

19.3 习题171

第20讲 差分方程模型之二——市场经济中的蛛网模型172

20.1 蛛网模型简介172

20.2 利于市场经济稳定的最优管理水平176

20.3 习题178

第21讲 从差分方程模型到概率模型——海战分析179

21.1 预备知识179

21.2 战事问题181

21.3 确定性差分方程模型181

21.4 随机模型183

21.5 习题186

第22讲 Markov链模型——社会阶层的变迁187

22.1 什么是Markov链187

22.2 社会阶层流动问题189

22.3 Markov链模型190

22.4 模型灵敏度分析192

22.5 习题194

第23讲 基本假设对模型的影响——传染病的传播197

23.1 问题提出197

23.2 建模分析197

23.3 SI模型197

23.4 SIS模型198

23.5 SIR模型199

23.6 随机模型——Markov链模型201

23.7 模型的进一步讨论202

23.8 习题203

第24讲 统计回归模型——牙膏的销售量204

24.1 牙膏的销售量204

24.2 酶促反应209

24.3 习题212

第25讲 Logit模型——住房和收入的关系214

25.1 二元Logit模型214

25.2 多元Logit模型219

25.3 习题223

第26讲 时间序列模型——波动率的刻画225

26.1 波动率模型简介225

26.2 建立AR（1）-GARCH（1,1）模型226

26.3 模型评价230

26.4 习题231

第27讲 决策论模型——风险决策232

27.1 设备的定期维修问题232

27.2 风险决策的矩阵形式233

27.3 最小期望机会损失原则234

27.4 习题235

第28讲 博弈论模型——水雷战中的问题236

28.1 问题的提出236

28.2 两人零和纯策略对策237

28.3 混合策略对策240

28.4 在水雷战中的应用241

28.5 习题244

第29讲 动态规划模型——设备的最佳使用245

29.1 预备知识245

29.2 机器最佳使用问题建模249

29.3 习题254

第30讲 多种模型的考虑——存储问题256

30.1 简单的优化模型256

30.2 随机存储策略260

30.3 现实世界中的存储建模265

30.4 习题269

第31讲 随机过程模型——股市中的数学270

31.1 预备知识270

31.2 股票价格分析与建模272

31.3 广义双曲分布族及其在拟合股票收益率中的应用275

31.4 习题277

综合考查题（3）278

参考文献280