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第一篇 基本理论3

第一章 解的存在与惟一性3

1.1 引言3

1.2 Cauchy问题5

1.3 例子6

1.4 Picard定理和Peano定理9

1.5 极大解14

1.6 方程组与高阶方程16

1.7 广义解（Carathéodory定理）19

第二章 解对初值和参数的依赖性25

2.1 引言25

2.2 连续性26

2.3 可微性30

第二篇 线性理论39

第一章 一般性质39

1.1 引言39

1.2 存在与惟一性40

1.3 解空间43

1.4 基本解阵44

1.5 常数变异法46

第二章 常线性系统48

2.1 指数矩阵48

2.2 线性流49

2.3 一般性质52

2.4 渐近性质53

2.5 本征向量54

2.6 二维线性系统55

第三章 线性共轭60

3.1 引言60

3.2 基本性质62

3.3 线性吸引子与逸散子64

3.4 稳定子空间与不稳定子空间68

3.5 拓扑共轭71

第四章 Sturm-Liouville理论75

4.1 Sturm定理与Sturm-Liouville问题75

4.2 本征值的存在性79

4.3 本征函数的级数展开81

第五章 复线性系统89

5.1 复解析线性系统89

5.2 奇点分类91

5.3 形式解98

5.4 基本解阵结构102

5.5 n阶方程106

5.6 二阶Fuchs方程111

5.7 Frobenious方法118

5.8 微分方程解析理论125

第三篇 定性理论133

第一章 基础理论133

1.1 向量场与流133

1.2 向量场生成流的可微性137

1.3 向量场的相划分143

1.4 向量场的等价与共轭146

1.5 双曲奇点的局部结构150

1.6 周期轨道的局部结构151

1.7环面上的线性流155

第二章 Poincaré-Bendixson定理158

2.1 轨道的α极限集与ω极限集158

2.2 Poincaré-Bendixson定理162

2.3 Poincaré-Bendixson定理的应用166

第三章 Liapounov稳定性170

3.1 Liapounov意义下的稳定性170

3.2Liapounov判别法173

［附录］二维系统的中心焦点区分问题177

第四章 曲面上的Poincaré-Bendixson定理183

4.1 旋转数184

4.2 Schwartz定理187

第五章 双曲奇点与双曲周期轨道的局部结构196

5.1 引言196

5.2 微分同胚与双曲周期轨道的Hartman定理198

5.3 Banach空间的Hartman定理200

5.4 向量场与流的Hartman定理205

5.5 Hartman定理：微分同胚的局部情形209

5.6 Hartman定理：向量场的局部情形209

5.7 不变流形210

［附录］双曲点不变流形的可微性213

第四篇 问题225

第一部分 基本理论225

第二部分 线性理论235

一、实线性系统235

二、复线性系统241

三、Sturm-Liouville理论245

第三部分 定性理论251

一、定性理论基础251

二、Poincaré-Bendixson定理256

三、Liapounov稳定性260

四、双曲元的局部结构曲面上的流264

附录泛函微分方程267

参考文献280

索引281