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目 录1

第一章方程的导出和分类1

§1方程的导出和定解条件1

1．波动方程的定解问题（1）2．热传导方程和定解问题（13）3？．变分原理和膜平衡问题18

§2二阶线性方程的分类22

1．分类（22）2．两个自变量的二阶线性方程化为标准型（26）3．举例32

§3定解问题适定性的概念34

习题38

第二章波动方程42

§1达朗贝尔公式、行波解42

1．弦振动方程的初值问题（42）2．物理意义（44）3．影响区域、依赖区域、决定区域（45）4．半无界弦的自由振动与延拓法（47）5．齐次化原理49

§2球平均法与降维法53

1．三维波动方程柯西问题的解（53）2．降维法57

3．依赖区域、决定区域和影响区域（59）4．惠更斯（Huygens）原理、波的弥散（60）5．非齐次波动方程61

§3混合问题的分离变量法63

1．叠加原理（63）2．分离变量法（66）3．解的存在性69

§4能量不等式、波动方程解的唯一性和连续依赖性73

1．Cauchy问题的能量不等式与解的唯一性和连续依赖性（73）2．混合问题的能量不等式82

习题86

三章特殊函数及其应用90

§1 高维波动方程的混合问题分离变量法90

1．柱区域（92）2．球区域93

§2贝塞尔函数95

1．贝塞尔方程的解（95）2．递推公式和渐近公式（99）3．贝塞尔函数的零点（101）4．图表101

5．其它类型的Bessel函数104

§3勒让得函数105

1．勒让得方程的解（105）2．勒让得多项式的基本性质（108）3．勒让得伴随函数109

§4斯图姆—刘维尔（Sturn—Liouville）问题110

1．特征值问题（110）2．贝塞尔方程的特征值问题（116）3．勒让得方程的特征值问题（122）4．伴随勒让得方程的特征值问题125

§5应用举例——高维波动方程的分离变量法126

习题131

第四章热传导方程135

§1混合问题的分离变量法135

1．一维热传导方程的混合问题（135）2．圆形区域上的热传导方程的混合问题137

§2柯西问题的积分变换法140

1．Fourier变换及其基本性质（140）2．热传导方程Cauchy问题（148）3．解的存在性149

§ 3极值原理与最大模估计153

1．弱极值原理（153）2．混合问题的最大模估计158

3．初值问题的最大模估计159

§4 Laplace变换在解定解问题中的应用161

1．Laplace变换（161）2．Laplace变换的基本性质（163）3．展开定理（164）4．Laplace变换在解定解问题中的应用165

习题168

第五章位势方程173

§1边值问题的分离变量法173

1．圆内Dirichlet问题的解（173）2．球内Dirichlet问题的解179

§2 Green公式、基本解和基本积分公式182

1．Green公式（182）2．基本解（183）3．基本积分公式184

§3 Dirichlet问题，Green函数188

1．Dirichlet问题的Green函数（188）2．一些特殊区域的Green函数与它的Dirichlet问题的解191

§4调和函数的性质207

§5极值原理与最大模估计212

1．极值原理（212）2*强极值原理（214）3．Dirichlet问题解的最大模估计（218）4*．Neumann问题与第三边值问题219

习题222

第六章Cauchy—Ковалевская定理与典型方程的总结227

§1一阶偏微分方程组227

1．Ковалевская型方程组的Cauchy问题（227）2．特征理论（232）3．狭义双曲组化为对角型（235）4．等价积分方程组（237）5．一阶拟线性双曲型方程组概述240

§2 Cauchy——Ковалевская定理243

1．幂级数解法（244）2．Cauchy—Ковалевская定理246

§3三类典型方程的总结252

1．三类方程的共性（253）2．解的性质的比较（254）3．定解问题的适定性257

习题263