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第1章 随机变量和概率分布1

1.1统计动力学的任务1

1.2一般定义2

1.3无规行走、正常扩散9

1.4平均11

1.5中心极限定理13

1.5.1正常中心极限定理13

1.5.2宽分布的中心极限定理15

1.5.3中心极限定理的物理价值17

1.6马尔可夫过程17

1.6.1稳定马尔可夫过程的定义17

1.6.2 Ornstein-Uhlenbeck过程18

1.6.3几点注意19

1.7宏观过程不可逆性的统计基础20

1.7.1马尔可夫层级关系20

1.7.2概率假设的时间之箭21

习题22

第2章 演化方程24

2.1从微观动力学到宏观分布函数24

2.1.1微观动力系统24

2.1.2海森伯绘景和薛定谔绘景25

2.2 Chapman-Kolmogorov方程27

2.2.1 Chapman-Kolmogorov方程的推导28

2.2.2两个简单的马尔可夫过程29

2.3微分Chapman-Kolmogorov方程30

2.4确定性过程和刘维尔方程30

2.5跳跃过程和主方程31

2.6扩散过程和福克尔-普朗克方程32

2.7刘维尔主方程36

2.8一些具体的马尔可夫过程37

习题42

第3章 反常扩散现象45

3.1宽分布导致超扩散46

3.1.1莱维飞行和物理应用46

3.1.2洛伦兹气体中几何诱发反常扩散47

3.1.3聚合物吸附和自消除莱维飞行47

3.2长等待时间诱发欠扩散48

3.2.1晶格上的无规行走48

3.2.2梳状结构中的扩散49

3.2.3间歇动力系统中的反常扩散50

3.2.4反常扩散实验52

3.3长程关联53

3.3.1关联的实用性53

3.3.2极限分布的形状54

3.3.3几何关联和反常扩散54

3.3.4扩散行为55

3.4俘获、位垒和无规力56

3.4.1模型56

3.4.2电子和力学问题的等价性57

3.4.3随机场伊辛模型的应用65

3.5分数阶布朗运动67

第4章 非各态历经随机运动70

4.1涨落耗散定理与扩散系数70

4.2各态历经判据72

4.2.1 Brinkhof f判据72

4.2.2 Khinchin判据73

4.2.3 Lee判据75

4.2.4内在判据和外在表现77

4.3牛顿和朗之万之间的动力学78

4.4弹道扩散79

4.5局域化83

4.5.1阻尼陷阱83

4.5.2气体分子与固体表面相互作用84

4.6外场下的两类非各态历经运动85

4.6.1简谐速度噪声85

4.6.2渐进态依赖于初始速度准备87

4.6.3渐进态依赖于初始坐标准备89

4.7系统加热库模型的推广90

4.7.1独立振子模型91

4.7.2 FKM模型98

4.7.3 Rubin模型99

习题101

第5章 含非欧姆摩擦的广义朗之万方程103

5.1二次动力学和老化问题103

5.1.1拉普拉斯变换方法103

5.1.2非欧姆朗之万模型中的噪声和摩擦106

5.1.3粒子速度：一次时间特性108

5.1.4速度关联函数108

5.1.5粒子位移的老化109

5.1.6等时关联函数和时间有关的扩散系数110

5.2涨落与耗散之比111

5.3倾斜周期势中的反常输运112

5.3.1动力学模型112

5.3.2欧姆阻尼情形下的波包劈裂113

5.3.3欠欧姆阻尼情形下的准周期振荡现象114

5.3.4超欧姆阻尼情形下的态转换115

5.4应用举例118

5.4.1反常热传导118

5.4.2位垒通过问题119

5.4.3棘轮整流反常扩散125

习题132

第6章 连续时间无规行走134

6.1醉汉格子行走134

6.2经典无规行走136

6.3时空非马尔可夫性140

6.3.1广义主方程140

6.3.2分布密度函数147

6.3.3非马尔可夫扩散方程149

6.4分数阶扩散方程157

6.5关联连续时间无规行走161

6.5.1耦合朗之万方程161

6.5.2标度分析163

第7章 分数阶微积分166

7.1 Grunwald-Letnikov分数阶导数167

7.1.1整数阶导数和积分的统一167

7.1.2任意分数阶积分169

7.1.3任意分数阶导数170

7.1.4黎曼-刘维尔分数阶导数172

7.2分数阶导数的性质172

7.3举例174

7.3.1从整数阶导数到分数阶导数174

7.3.2半阶导数和积分175

7.4分数阶导数的拉普拉斯和傅里叶变换176

7.4.1拉普拉斯变换176

7.4.2傅里叶变换178

7.5分数阶常微分和偏微分方程的解析解180

7.5.1线性分数阶常微分方程180

7.5.2线性分数阶偏微分方程181

7.6分数阶微积分的应用183

7.6.1分数阶力学183

7.6.2分数阶微积分的物理解释189

7.6.3分数阶微积分的实现191

习题194

第8章 分数阶朗之万方程196

8.1分数阶振子和分数阶速度197

8.1.1分数阶振子动力学197

8.1.2总能量和相平面表示199

8.2分数阶朗之万方程的建立201

8.2.1一般解202

8.2.2α=1/2和α=3/4的例子205

8.3过阻尼和欠阻尼的定义208

8.4对一个外部信号的响应212

8.5金融市场的分数阶朗之万记忆模型217

8.5.1利润217

8.5.2分数阶无规行走218

8.5.3分数阶随机方程219

8.6分数阶统计220

8.6.1分数阶朗之万方程的各种解220

8.6.2市场活动作为一个不规则过程225

8.7分数阶资产动力学228

8.7.1分数阶随机动力学模型228

8.7.2价格增量涨落分布231

8.7.3与现实数据的比较233

习题234

第9章 分数阶福克尔-普朗克方程235

9.1接近热平衡的反常扩散和弛豫235

9.2分数阶福克尔-普朗克方程、解及其应用239

9.2.1分数阶福克尔-普朗克方程的引入239

9.2.2积分变换法241

9.3应用举例243

9.3.1 d维分数阶自由扩散243

9.3.2偏压分数阶维纳过程244

9.3.3分数阶首次通过时间245

9.4逆莱维变换与连续时间无规行走的关系248

9.5分数阶克拉默斯方程253

9.6广义Chapman-Kolmogorov方程258

9.6.1布朗运动情况259

9.6.2速度变量积分261

9.6.3分数阶瑞利方程262

9.7捕获所产生的慢输运过程264

9.7.1分数阶克莱因-克拉默斯方程264

9.7.2莱维行走及其推广：具有莱维型轨道的放大输运267

9.7.3莱维漫游：在小波数极限下的欠弹道游动268

9.8莱维飞行：超越有限矩的随机运动272

99评注273

第10章 莱维飞行275

10.1莱维飞行的特性275

10.2自由莱维飞行277

10.3常量力下的漂移和加速度278

10.4线性力和非吉布斯稳态解280

10.4.1朗之万方程的解281

10.4.2分离变量方法282

10.4.3有效时间283

10.5非线性振子势中的莱维飞行283

10.5.1实空间方程284

10.5.2傅里叶空间的方程286

10.6解析结果287

10.6.1布朗运动（α=2）287

10.6.2简谐莱维振子288

10.6.3四次柯西振子288

10.6.4非谐莱维振子292

10.7微扰方法296

10.7.1分叉时间的存在297

10.7.2 c＞2的稳定解非单一峰的证明298

10.7.3稳定解的幂律渐近形式299

第11章 非广延统计力学301

11.1 Tsallis熵和Tsallis分布302

11.1.1非加性熵和非广延统计302

11.1.2可加性与广延性303

11.1.3 q-指数统计分布303

11.1.4更一般约束下的分布304

11.1.5分数阶媒介中的扩散305

11.2反常扩散的热力学305

习题308

第12章 数值算法310

12.1噪声产生器310

12.1.1离散傅里叶变换产生任意色噪声310

12.1.2时间关联噪声的模拟310

12.2广义朗之万方程的数值模拟313

12.2.1非欧姆摩擦情况313

12.2.2利用傅里叶变换产生任意关联色噪声的数值算法313

12.2.3粒子在非欧姆阻尼环境中的扩散315

12.3随机关联势316

12.4分数阶导数和分数阶微分方程的数值算法318

12.5连续时间无规行走的蒙特卡罗模拟319

12.5.1 CTRW模型及其数值实现319

12.5.2有势情况下的CTRW324

附录A Mittag-Lef f ler函数325

A.1单参数Mittag-Lef f ler函数325

A.2两参数Mittag-Lef f ler函数326

A.3 Mittag-Lef f ler函数的拉普拉斯变换326

A.4 Mittag-Lef f ler函数的分数阶导数327

A.5 Wright函数327

附录B Fox H函数329

附录C莱维分布的一些注释和基于Fox函数的精确表示331

附录Dα稳定随机变量的注记334

参考文献335

索引342

《现代物理基础丛书》已出版书目348