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第1章 行列式与线性方程组1

1.1基础知识——线性方程组与行列式定义1

1.1.1二元线性方程组与二阶行列式1

1.1.2三元线性方程组与三阶行列式2

1.1.3 n阶行列式定义3

1.2软件实现——Mathematica中行列式的计算5

1.2.1数据表的输入方法5

1.2.2行列式的计算6

1.3价值体现——应用实例7

1.3.1行列式在n元线性方程组求解中的应用7

1.3.2行列式的几何应用9

1.4解因析理——行列式的性质与计算10

1.4.1几种特殊行列式的计算10

1.4.2行列式的性质12

1.4.3 n阶行列式的计算15

1.5拓展提高——行列式计算技巧17

习题122

第2章 矩阵与线性方程组26

2.1基础知识——矩阵、矩阵的初等变换及线性方程组求解27

2.1.1矩阵的概念28

2.1.2几种特殊矩阵30

2.1.3矩阵的初等变换与等价标准形31

2.1.4矩阵的秩36

2.1.5线性方程组解的判定37

2.2软件实现——Mathematica中矩阵的形成与线性方程组求解37

2.2.1矩阵的输入与输出37

2.2.2几个特殊矩阵的生成39

2.2.3矩阵的简化41

2.2.4线性方程组的求解42

2.3价值体现——应用实例43

2.4解因析理——矩阵的秩与线性方程组求解45

2.4.1矩阵秩的性质45

2.4.2线性方程组求解过程分析47

2.5拓展提高——解题技巧解析50

2.5.1矩阵秩的求法50

2.5.2含有参数的线性方程组的解的讨论51

习题253

第3章 矩阵的运算56

3.1基础知识——矩阵的运算57

3.1.1矩阵的线性运算57

3.1.2矩阵的乘法58

3.1.3矩阵的转置60

3.1.4矩阵的逆60

3.1.5矩阵的分块62

3.2软件实现——Mathematica中矩阵的运算66

3.2.1基本运算66

3.2.2方阵的运算68

3.3价值体现——矩阵运算应用实例69

3.4解因析理——矩阵运算性质及应用71

3.4.1矩阵运算的一般运算律72

3.4.2逆矩阵的性质和求法74

3.4.3初等矩阵及初等矩阵的作用77

3.5拓展提高——矩阵运算应用技巧分析81

3.5.1方阵的相关运算81

3.5.2逆矩阵的计算83

3.5.3矩阵方程求解85

3.5.4伴随矩阵的相关计算87

习题389

第4章 向量与线性方程组92

4.1基础知识——向量运算、向量空间及线性方程组求解93

4.1.1向量的运算93

4.1.2同维向量之间的关系95

4.1.3向量空间97

4.1.4规范正交基101

4.1.5线性方程组解的结构104

4.2软件实现——Mathematica中向量运算及线性方程组的求解106

4.2.1向量运算106

4.2.2向量组线性相关性的判定107

4.2.3向量组的最大无关组与秩108

4.2.4向量组的正交规范化109

4.2.5线性方程组的通解109

4.3价值体现——应用实例111

4.3.1向量及向量组的应用实例111

4.3.2向量组的线性相关性的应用实例112

4.3.3向量组线性相关和线性无关的几何意义113

4.3.4向量组的最大无关组的应用实例115

4.3.5线性方程组的应用实例115

4.4解因析理——向量组的线性相关性116

4.4.1向量组线性相关与线性无关的判定及性质116

4.4.2矩阵的秩与向量组的秩121

4.4.3线性方程组的求解123

4.5拓展提高——向量组的线性关系综合题解析129

4.5.1向量组的秩与向量组间线性表示的关系129

4.5.2抽象线性方程组的求解133

4.5.3已知方程组的解，反求系数矩阵或系数矩阵中的参数135

习题4135

第5章 特征值、特征向量及矩阵的相似对角化140

5.1基础知识——方阵的特征值、特征向量与对角化问题142

5.1.1特征值与特征向量的概念142

5.1.2矩阵的相似对角化144

5.2软件实现——Mathematica中特征值、特征向量的计算146

5.3价值体现——特征值、特征向量应用实例147

5.4解因析理——特征值、特征向量及相似矩阵的性质153

5.4.1特征值、特征向量的计算153

5.4.2特征值、特征向量的性质156

5.4.3相似矩阵的性质159

5.4.4方阵相似对角化的判定160

5.5拓展提高——典型题解析162

5.5.1特征值、特征向量的逆问题的求解162

5.5.2矩阵相似的判定及其逆问题163

5.5.3相似矩阵的应用164

习题5166

第6章 对称矩阵与二次型170

6.1基础知识——二次型及其标准形170

6.1.1二次型的概念170

6.1.2二次型的变量代换172

6.1.3化二次型为标准形174

6.2软件实现——Mathematica中二次型的化简175

6.3价值体现——二次型的应用177

6.3.1二次型与条件优化177

6.3.2二次型与二次曲线或二次曲面178

6.4解因析理——实对称矩阵的性质与二次型的化简180

6.4.1实对称矩阵的性质180

6.4.2用正交变换法化二次型为标准形181

6.4.3用配方法化二次型为标准形186

6.5拓展提高——正定二次型及应用188

6.5.1二次型的分类188

6.5.2二次型正定性的判别189

6.5.3二次型典型题解析194

习题6195

第7章Mathematica在线性代数中的应用197

7.1 Mathematica使用入门197

7.1.1 Mathematica的启动与运行197

7.1.2表达式的输入199

7.1.3特殊符号和表达式的输入199

7.1.4函数库的应用200

7.1.5联机帮助系统的使用201

7.2 Mathematica的基本运算203

7.2.1常用的符号203

7.2.2常数203

7.2.3变量206

7.2.4函数207

7.2.5表210

7.2.6表达式213

7.3线性代数中的常用语句215

7.3.1行列式与矩阵215

7.3.2矩阵的秩与向量组的最大无关组218

7.3.3线性方程组221

7.3.4矩阵的特征值与特征向量224

7.4应用案例229

参考文献237

参考答案238